Guía Docente de la Asignatura:

Análisis Matemático I


Licenciatura en Matemáticas Curso 2011-2012
Créditos teóricos: 9
Créditos prácticos: 6 		Anual
Primer Cuatrimestre
Segundo Cuatrimestre
Obligatoria
Troncal
Optativa
L.C.
Curso: 2º
Profesores: José Luis Gámez Ruíz. (Grupo B) M. Victoria Velasco Collado (Grupo A) Antonio Moreno Galindo (Grupo A)
Prerrequisitos
Objetivos
Evaluación
Programa
Bibliografía
Incidencia

Prerrequisitos

Para seguir ésta asignatura, es recomendable manejar con soltura las técnicas de cálculo de derivadas e integrales (de funciones de una y varias variables reales) y tener una cierta destreza en álgebra lineal. Para ello son suficientes las asignaturas de Cálculo y de Geometría I, impartidas en primer curso de la Licenciatura de Matemáticas.

Objetivos mínimos de la asignatura (destrezas a conseguir)

  • Conocer y manejar con soltura los conceptos básicos de topología en RN y su comportamiento frente a las aplicaciones continuas.
  • Concepto de derivada, interpretación geométrica (en el caso de funciones de variable real) y su relación con el jacobiano.
  • Conocer los enunciados y demostraciones de los Teoremas del valor medio y del punto fijo de Banach, así como saber aplicarlos a ejercicios sencillos. Conocer los enunciados del Teorema de Schauder y del Teorema de Picard-Lindelöf.
  • Conocer el concepto de derivada segunda, saber usar sus propiedades, así como saber aplicar el Teorema de Schwarz y controlar el error que se produce en una función al aproximar mediante el polinomio de Taylor.
  • Conocer y saber aplicar en casos concretos las condiciones necesarias y suficientes que han de verificarse para que un punto sea extremo relativo de una función y saber decidir si se trata de máximos o mínimos.
  • Aprender los enunciados y demostraciones de los Teoremas de las funciones inversa e implícita y saber aplicarlos en casos sencillos.
  • Conocer las dos definiciones equivalentes de variedad diferenciable de RN (ceros de una función y subespacio localmente difeomorfo a abiertos de un espacio euclídeo) y saber reconocer variedades y el valor de su dimensión.
  • Conocer el concepto de medida, algún ejemplo sencillo y el procedimiento para construir la medida de Lebesgue en RN, así como sus propiedades fundamentales.
  • Conocer dos caracterizaciones de la medida de Lebesgue y sus demostraciones.
  • Saber cómo se define la integral (de Lebesgue) y conocer sus propiedades algebro-topológicas.
  • Conocer (enunciado y demostración) de los Teoremas de convergencia monótona y dominada y saber aplicarlos en casos concretos.
  • Conocer ciertos subespacios densos destacados del espacio de funciones integrables: funciones simples integrables y funciones continuas de soporte compacto (en el caso de RN, dotado de la medida de Lebesgue).
  • Conocer los fundamentos teóricos para el cálculo de integrales en una variable o para averiguar la integrabilidad (Regla de Barrow, cambio de variable, integración por partes, criterio de comparación y resultados de continuidad y derivación de funciones definidas por integrales).
  • Conocer los Teoremas de Fubini y Tonelli y el Teorema del cambio de variable y saber aplicarlos.

Sistema de evaluación

La asignatura se organizará en dos cuatrimestres. El primero se dedicará a los temas 1-7, y el segundo a los temas 8-14.
Somos partidarios de una evaluación periódica, tanto con pruebas colectivas como con pruebas individualizadas, que permiten no sólo un control de los objetivos sino también de las actividades. Dicho control nos determinará las causas del éxito o el fracaso y al mismo tiempo nos indicará cuál debe ser el ritmo de las explicaciones. El profesor debe conocer, en cada momento, cómo son asimiladas por el alumno las materias que se le trasmiten y evitar lo que en el lenguaje coloquial se conoce como "los alumnos están perdidos".
En cuanto al modo de las pruebas colectivas creemos que se debe combinar un examen teórico (desarrollo de uno de los temas que constituyen los contenidos mínimos y cuya lista se suministra al comienzo del cuatrimestre) que nos permitirán medir lo aprendido, así cómo la capacidad de síntesis y la madurez en la exposición, y un examen práctico (resolución de cuestiones o problemas concretos) que nos de idea del grado de asimilación y razonamiento del alumno. La parte teórica tendrá carácter eliminatorio, si bien una vez superada su valor relativo será inferior al de la prueba práctica (máximo de 2 sobre 10).
El sistema normal de evaluación de esta asignatura, en lo concerniente a las pruebas colectivas, consistirá en la realización de dos de ellas, normalmente por escrito, en las que los alumnos deberán acreditar que han superado los objetivos previstos. La Comisión Docente de Matemáticas fija el calendario de realización de dichas pruebas. La dirección internet de ésta es:
http:/www.ugr.es/~cdocmat

Los alumnos que hayan superado ambas pruebas no tendrán que realizar ninguna otra. Su nota final será, como mínimo, la media aritmética de la obtenida en estas dos pruebas. Para el resto de los alumnos será obligatorio una tercera prueba que abarcará la totalidad de la asignatura y que se realizará a final de curso. A esta prueba se podrán presentar aquellos alumnos que habiendo superado la asignatura por curso deseen mejorar la calificación.
 El resultado de estas pruebas junto con lo controles individuales realizados a lo largo de todo el curso serán los que permitan al profesor decidir qué alumnos han superado la asignatura así como asignarles la correspondiente calificación.
Las fechas de los exámenes se anunciarán con antelación en el tablón de anuncios del Departamento de Análisis Matemático. También es conveniente consultar la página web de la Licenciatura de Matemáticas.
Al margen de este sistema normal de evaluación, y de acuerdo con el artículo correspondiente al Reglamento de Régimen Interno del Departamento de Análisis Matemático, los alumnos podrán optar por el sistema de Evaluación por Tribunal previsto en el Artículo 137 de los Estatutos de la Universidad de Granada.

Programa de la asignatura

 
    CAPÍTULO I: CONTINUIDAD.

  • Tema 1: Introducción al análisis de una variable.
    • Axioma del supremo.
    • Teorema de los intervalos encajados.
    • Complitud de R:.
    • Límites superior e inferior.
    • Teorema de Bolzano-Weiertrass.
    • Numerabilidad.
  • Tema 2: Campos escalares y vectoriales continuos. Límte funcional.
    • Teorema de Bolzano-Weiertrass.
    • Teorema de Hausdorff.
    • Funciones continuas y uniformemente continuas.
    • Conservación de compactos por funciones continuas.
    • Teorema de Heine.
    • Conservación de conexos por funciones continuas.
    • Límite funcional.

    • CAPÍTULO II: DERIVACIÓN.

  • Tema 3: Campos escalares y vectoriales derivables. Reglas de derivación.
    • El espacio de Banach de las aplicaciones lineales.
    • Derivada.
    • Vector gradiente. Matriz jacobiana.
    • Interpretación geométrica del concepto de derivada.
  • Tema 4: Teorema del valor medio. Teorema del punto fijo de Banach y de Schauder. Teorema de Picard-Lindelöf.
    • Teorema del valor medio para campos escalares y vectoriales.
    • Teorema del punto fijo de Banach.
    • Teorema de Schauder.
    • Teorema de Picard-Lindelöf.
  • Tema 5: Derivada segunda. Matriz hessiana.
    • Aplicaciones bilineales.
    • Derivada segunda. Propiedades.
    • Teorema de Schwarz.
    • Fórmula de Taylor.
    • Matriz hessiana.
  • Tema 6: Derivadas sucesivas.
    • Aplicaciones multilineales.
    • Teorema de Schwarz.
    • Polinomio de Taylor.
    • Fórmula infinitesimal del resto.
    • Derivadas parciales de orden superior.
  • Tema 7: Extremos relativos.
    • Condiciones necesarias y suficientes de extremo relativo.
    • Criterios para decidir el tipo de extremo.
  • Tema 8: Teoremas de la función inversa e implícita.
    • Teorema de la función inversa.
    • Teorema de la función implícita.
  • Tema 9: Variedades. Extremos condicionados.
    • Variedades diferenciables.
    • Espacios tangente y normal.
    • Extremos condicionados.
    • Teorema de Lagrange.
    • Condiciones necesarias y suficientes de extremo condicionado.

    • CAPÍTULO III: INTEGRACIÓN.

  • Tema 10: Medida de Lebesgue en IRN.
    • o--álgebras y medidas.
    • Medida exterior de Lebesgue.
    • Teorema de existencia y unicidad de la medida de Lebesgue
    • Caracterización de la medida de Lebesgue.
  • Tema 11: Integral asociada a una medida.
    • Funciones medibles.
    • Teorema de aproximación de Lebesgue.
    • Integral de una función simple positiva.
    • Integral de una función medible positiva.
    • Funciones integrables e integral.
    • Teorema de densidad de las funciones simples en las funciones integrables.
  • Tema 12: Teoremas de convergencia.
    • Teorema de la convergencia monótona.
    • Teorema de la convergencia dominada.
    • Lema de Fatou.
    • Teorema de la convergencia absoluta.
    • Teorema de Riesz.
    • Densidad de las funciones de soporte compacto y de las funciones escalonadas en las funciones integrables en RN.
  • Tema 13: Técnicas de integración en una variable.
    • Regla de Barrow.
    • Cambio de variable.
    • Integración por partes.
    • Criterio de comparación.
  • Tema 14: Técnicas de integración en varias variables.
    • Teorema de Fubini.
    • Teorema de Tonelli.
    • Teorema del cambio de variable.

    Programa de prácticas

      • Aproximación de puntos fijos.
      • Estimación de la medida (de Lebesgue) de conjuntos

Bibliografía básica
  • APARICIO, C Y PAYÁ, R.: Análisis Matemáico I. Servicio Publicaciones de la Universidad de Granada, 1999 (Séptima edición).
  • BERBERIAN, S.K.: Fundamentals of Real Analysis, Springer, Nueva York, 1998.
  • BOMBAL, F., RODRIGUEZ, L Y VERA, G.: Problemas de Análisis Matemático (2, Cálculo diferencial), Editorial AC, Madrid, 1988.
  • FERNÁNDEZ, J.A. Y SÁNCHEZ. E.: Ejercicios y complementos de Análisis Matemático II. Tecnos, Madrid, 1986.
  • GAUGHAN, E.: Introducción al Análisis; Alhambra. Mardrid, 1972
  • GUZMAN, M. Y RUBIO, B.: Integración: Teoría y Técnicas, Alahambra, Madrid, 1979
  • LUKEs, J. Y MALy, J.: Measure and integral, Matfyzpress, Praga, 1995.
  • MARSDEN, J.E. Y HOFFMAN; M.J.: Análisis clásico elemental, Segunda edición, Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina, 1998.

Bibliografía complementaria

  • BRIDGES, D.S.: Foundations of Real and Abstract Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, Nueva York, 1998
  • CRAVEN, B.D.: Functions of several variables, Chapman and Hall, Nueva York, 1981.
  • RUDIN, W.: Real and complex Analysis. McGraw-Hill, 1966
  • STROMBERO, K.E.: An introduction to classical real analysis, Wadsworth International Group, Belmont, California, 1981

Incidencia o interés en otras áreas de enseñanza

Es una asignatura fundamental en cualquier enseñanza de tipo científico/técnico.


 

Convocatoria de exámen
Las fechas de los exámenes son fijadas por la Comisión Docente de Matemáticas (http://www.ugr.es/local/cdocmat).