Práctica 2. Estabilidad. Condicionamiento.
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Estabilidad
Se dice que un algoritmo es estable (numéricamente) cuando es poco sensible a los errores de redondeo.
Para ilustrar el concepto de estabilidad de un algoritmo veremos dos maneras de calcular la sucesión (1/2)^i, una estable y otra que no lo es.
Sucesión (algoritmo estable)
Vemos un ejemplo en el que se hallan por recurrencia los términos de la sucesión s(1)=1/2, s(i)=s(i-1)/2 para i>=2.
A continuación para cada valor de i desde 2 hasta 50 se muestra el propio i, el término de la sucesión s(i), el valor de (1/2)^i y la diferencia entre estos dos últimos números. (Puede encontrar estas instrucciones en el programa sucesion.m)
% Sucesión de números (estable) N=50; % La siguiente instrucción genera un vector-columna con ceros. En este % vector guardaremos los términos de la sucesión. s=zeros(N,1); s(1)=1/2; % s(2)=0.5*s(1); % s(3)=0.5*s(2); disp(' i s(i) (1/2)^i s(i)-(1/2)^i '); disp('---------------------------------------------------------'); % Encabezamiento para format short. % Con format long el encabezamiento queda peor. for i=2:N s(i)=s(i-1)/2; disp([i, s(i), (1/2)^i, s(i)-(1/2)^i]); end
i s(i) (1/2)^i s(i)-(1/2)^i
---------------------------------------------------------
2.0000 0.2500 0.2500 0
3.0000 0.1250 0.1250 0
4.0000 0.0625 0.0625 0
5.0000 0.0312 0.0312 0
6.0000 0.0156 0.0156 0
7.0000 0.0078 0.0078 0
8.0000 0.0039 0.0039 0
9.0000 0.0020 0.0020 0
10.0000 0.0010 0.0010 0
11.0000 0.0005 0.0005 0
12.0000 0.0002 0.0002 0
13.0000 0.0001 0.0001 0
14.0000 0.0001 0.0001 0
15.0000 0.0000 0.0000 0
16.0000 0.0000 0.0000 0
17.0000 0.0000 0.0000 0
18.0000 0.0000 0.0000 0
19.0000 0.0000 0.0000 0
20.0000 0.0000 0.0000 0
21.0000 0.0000 0.0000 0
22.0000 0.0000 0.0000 0
23.0000 0.0000 0.0000 0
24.0000 0.0000 0.0000 0
25.0000 0.0000 0.0000 0
26.0000 0.0000 0.0000 0
27.0000 0.0000 0.0000 0
28.0000 0.0000 0.0000 0
29.0000 0.0000 0.0000 0
30.0000 0.0000 0.0000 0
31.0000 0.0000 0.0000 0
32.0000 0.0000 0.0000 0
33.0000 0.0000 0.0000 0
34.0000 0.0000 0.0000 0
35.0000 0.0000 0.0000 0
36.0000 0.0000 0.0000 0
37.0000 0.0000 0.0000 0
38.0000 0.0000 0.0000 0
39.0000 0.0000 0.0000 0
40.0000 0.0000 0.0000 0
41.0000 0.0000 0.0000 0
42.0000 0.0000 0.0000 0
43.0000 0.0000 0.0000 0
44.0000 0.0000 0.0000 0
45.0000 0.0000 0.0000 0
46.0000 0.0000 0.0000 0
47.0000 0.0000 0.0000 0
48.0000 0.0000 0.0000 0
49.0000 0.0000 0.0000 0
50.0000 0.0000 0.0000 0
Ej 1. Ejecute el script sucesion.m para N=1700 usando antes la instrucción format long. (Si al acabar el ejercicio no aparece la opción 'Next' para continuar con la práctica, puede volver a ejecutarla con 'echodemo practica2').
Sucesión (algoritmo inestable)
En este ejemplo emplearemos la siguiente sucesión s(1)=1/2, s(2)=1/4, s(i)=(23/2)*s(i-1)-11/2*s(i-2) para i>=3. Puede probarse (por inducción) que para todo valor de i natural se tiene que s(i)=(1/2)^i, aunque veremos que numéricamente se producen errores.
Las siguientes instrucciones (que puede encontrar en el programa sucesion2.m) hallan los primeros términos de esta sucesión.
% Sucesión de números (inestable) format compact % Elimina lineas en blanco en el resultado N=1700; s=zeros(N,1); s(1)=1/2; s(2)=1/4; disp(' i s(i) (1/2)^i s(i)-(1/2)^i '); disp('---------------------------------------------------------'); % Encabezamiento para format short. % Con format long el encabezamiento queda peor. for i=3:N s(i)=(23/2)*s(i-1)-11/2*s(i-2); disp([i, s(i), (1/2)^i, s(i)-(1/2)^i]); end format loose % Volvemos al formato usual en el que se incluyen más lineas en blanco.
i s(i) (1/2)^i s(i)-(1/2)^i
---------------------------------------------------------
3.0000 0.1250 0.1250 0
4.0000 0.0625 0.0625 0
5.0000 0.0312 0.0312 0
6.0000 0.0156 0.0156 0
7.0000 0.0078 0.0078 0
8.0000 0.0039 0.0039 0
9.0000 0.0020 0.0020 0
10.0000 0.0010 0.0010 0
11.0000 0.0005 0.0005 0
12.0000 0.0002 0.0002 0
13.0000 0.0001 0.0001 0
14.0000 0.0001 0.0001 0
15.0000 0.0000 0.0000 0
16.0000 0.0000 0.0000 0
17.0000 0.0000 0.0000 0
18.0000 0.0000 0.0000 0
19.0000 0.0000 0.0000 0
20.0000 0.0000 0.0000 0
21.0000 0.0000 0.0000 0
22.0000 0.0000 0.0000 0
23.0000 0.0000 0.0000 0
24.0000 0.0000 0.0000 0
25.0000 0.0000 0.0000 0
26.0000 0.0000 0.0000 0
27.0000 0.0000 0.0000 0
28.0000 0.0000 0.0000 0
29.0000 0.0000 0.0000 0
30.0000 0.0000 0.0000 0
31.0000 0.0000 0.0000 0
32.0000 0.0000 0.0000 0
33.0000 0.0000 0.0000 0
34.0000 0.0000 0.0000 0
35.0000 0.0000 0.0000 0
36.0000 0.0000 0.0000 0
37.0000 0.0000 0.0000 0
38.0000 0.0000 0.0000 0
39.0000 0.0000 0.0000 0
40.0000 0.0000 0.0000 0
41.0000 0.0000 0.0000 0
42.0000 0.0000 0.0000 0
43.0000 0.0000 0.0000 0
44.0000 0.0000 0.0000 0
45.0000 0.0000 0.0000 0
46.0000 0.0000 0.0000 0
47.0000 0.0000 0.0000 0
48.0000 0.0000 0.0000 0
49.0000 0.0000 0.0000 0
50.0000 0.0000 0.0000 0
51.0000 0.0000 0.0000 0
52.0000 0.0000 0.0000 0
53.0000 0.0000 0.0000 0
54.0000 0.0000 0.0000 0
55.0000 0.0000 0.0000 0
56.0000 0.0000 0.0000 0
57.0000 0.0000 0.0000 0
58.0000 0.0000 0.0000 0
59.0000 0.0000 0.0000 0
60.0000 0.0000 0.0000 0
61.0000 0.0000 0.0000 0
62.0000 0.0000 0.0000 0
63.0000 0.0000 0.0000 0
64.0000 0.0000 0.0000 0
65.0000 0.0000 0.0000 0
66.0000 0.0000 0.0000 0
67.0000 0.0000 0.0000 0
68.0000 0.0000 0.0000 0
69.0000 0.0000 0.0000 0
70.0000 0.0000 0.0000 0
71.0000 0.0000 0.0000 0
72.0000 0.0000 0.0000 0
73.0000 0.0000 0.0000 0
74.0000 0.0000 0.0000 0
75.0000 0.0000 0.0000 0
76.0000 0.0000 0.0000 0
77.0000 0.0000 0.0000 0
78.0000 0.0000 0.0000 0
79.0000 0.0000 0.0000 0
80.0000 0.0000 0.0000 0
81.0000 0.0000 0.0000 0
82.0000 0.0000 0.0000 0
83.0000 0.0000 0.0000 0
84.0000 0.0000 0.0000 0
85.0000 0.0000 0.0000 0
86.0000 0.0000 0.0000 0
87.0000 0.0000 0.0000 0
88.0000 0.0000 0.0000 0
89.0000 0.0000 0.0000 0
90.0000 0.0000 0.0000 0
91.0000 0.0000 0.0000 0
92.0000 0.0000 0.0000 0
93.0000 0.0000 0.0000 0
94.0000 0.0000 0.0000 0
95.0000 0.0000 0.0000 0
96.0000 0.0000 0.0000 0
97.0000 0.0000 0.0000 0
98.0000 0.0000 0.0000 0
99.0000 0.0000 0.0000 0
100.0000 0.0000 0.0000 0
101.0000 0.0000 0.0000 0
102.0000 0.0000 0.0000 0
103.0000 0.0000 0.0000 0
104.0000 0.0000 0.0000 0
105.0000 0.0000 0.0000 0
106.0000 0.0000 0.0000 0
107.0000 0.0000 0.0000 0
108.0000 0.0000 0.0000 0
109.0000 0.0000 0.0000 0
110.0000 0.0000 0.0000 0
111.0000 0.0000 0.0000 0
112.0000 0.0000 0.0000 0
113.0000 0.0000 0.0000 0
114.0000 0.0000 0.0000 0
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119.0000 0.0000 0.0000 0
120.0000 0.0000 0.0000 0
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122.0000 0.0000 0.0000 0
123.0000 0.0000 0.0000 0
124.0000 0.0000 0.0000 0
125.0000 0.0000 0.0000 0
126.0000 0.0000 0.0000 0
127.0000 0.0000 0.0000 0
128.0000 0.0000 0.0000 0
129.0000 0.0000 0.0000 0
130.0000 0.0000 0.0000 0
131.0000 0.0000 0.0000 0
132.0000 0.0000 0.0000 0
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139.0000 0.0000 0.0000 0
140.0000 0.0000 0.0000 0
141.0000 0.0000 0.0000 0
142.0000 0.0000 0.0000 0
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147.0000 0.0000 0.0000 0
148.0000 0.0000 0.0000 0
149.0000 0.0000 0.0000 0
150.0000 0.0000 0.0000 0
151.0000 0.0000 0.0000 0
152.0000 0.0000 0.0000 0
153.0000 0.0000 0.0000 0
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0.0000 1.4234 0 1.4234
1.0e+174 *
0.0000 1.5658 0 1.5658
1.0e+175 *
0.0000 1.7224 0 1.7224
1.0e+176 *
0.0000 1.8946 0 1.8946
1.0e+177 *
0.0000 2.0841 0 2.0841
1.0e+178 *
0.0000 2.2925 0 2.2925
1.0e+179 *
0.0000 2.5217 0 2.5217
1.0e+180 *
0.0000 2.7739 0 2.7739
1.0e+181 *
0.0000 3.0513 0 3.0513
1.0e+182 *
0.0000 3.3564 0 3.3564
1.0e+183 *
0.0000 3.6920 0 3.6920
1.0e+184 *
0.0000 4.0612 0 4.0612
1.0e+185 *
0.0000 4.4674 0 4.4674
1.0e+186 *
0.0000 4.9141 0 4.9141
1.0e+187 *
0.0000 5.4055 0 5.4055
1.0e+188 *
0.0000 5.9461 0 5.9461
1.0e+189 *
0.0000 6.5407 0 6.5407
1.0e+190 *
0.0000 7.1947 0 7.1947
1.0e+191 *
0.0000 7.9142 0 7.9142
1.0e+192 *
0.0000 8.7056 0 8.7056
1.0e+193 *
0.0000 9.5762 0 9.5762
1.0e+195 *
0.0000 1.0534 0 1.0534
1.0e+196 *
0.0000 1.1587 0 1.1587
1.0e+197 *
0.0000 1.2746 0 1.2746
1.0e+198 *
0.0000 1.4020 0 1.4020
1.0e+199 *
0.0000 1.5423 0 1.5423
1.0e+200 *
0.0000 1.6965 0 1.6965
1.0e+201 *
0.0000 1.8661 0 1.8661
1.0e+202 *
0.0000 2.0527 0 2.0527
1.0e+203 *
0.0000 2.2580 0 2.2580
1.0e+204 *
0.0000 2.4838 0 2.4838
1.0e+205 *
0.0000 2.7322 0 2.7322
1.0e+206 *
0.0000 3.0054 0 3.0054
1.0e+207 *
0.0000 3.3060 0 3.3060
1.0e+208 *
0.0000 3.6366 0 3.6366
1.0e+209 *
0.0000 4.0002 0 4.0002
1.0e+210 *
0.0000 4.4002 0 4.4002
1.0e+211 *
0.0000 4.8402 0 4.8402
1.0e+212 *
0.0000 5.3243 0 5.3243
1.0e+213 *
0.0000 5.8567 0 5.8567
1.0e+214 *
0.0000 6.4424 0 6.4424
1.0e+215 *
0.0000 7.0866 0 7.0866
1.0e+216 *
0.0000 7.7953 0 7.7953
1.0e+217 *
0.0000 8.5748 0 8.5748
1.0e+218 *
0.0000 9.4323 0 9.4323
1.0e+220 *
0.0000 1.0376 0 1.0376
1.0e+221 *
0.0000 1.1413 0 1.1413
1.0e+222 *
0.0000 1.2554 0 1.2554
1.0e+223 *
0.0000 1.3810 0 1.3810
1.0e+224 *
0.0000 1.5191 0 1.5191
1.0e+225 *
0.0000 1.6710 0 1.6710
1.0e+226 *
0.0000 1.8381 0 1.8381
1.0e+227 *
0.0000 2.0219 0 2.0219
1.0e+228 *
0.0000 2.2241 0 2.2241
1.0e+229 *
0.0000 2.4465 0 2.4465
1.0e+230 *
0.0000 2.6911 0 2.6911
1.0e+231 *
0.0000 2.9603 0 2.9603
1.0e+232 *
0.0000 3.2563 0 3.2563
1.0e+233 *
0.0000 3.5819 0 3.5819
1.0e+234 *
0.0000 3.9401 0 3.9401
1.0e+235 *
0.0000 4.3341 0 4.3341
1.0e+236 *
0.0000 4.7675 0 4.7675
1.0e+237 *
0.0000 5.2443 0 5.2443
1.0e+238 *
0.0000 5.7687 0 5.7687
1.0e+239 *
0.0000 6.3456 0 6.3456
1.0e+240 *
0.0000 6.9801 0 6.9801
1.0e+241 *
0.0000 7.6781 0 7.6781
1.0e+242 *
0.0000 8.4459 0 8.4459
1.0e+243 *
0.0000 9.2905 0 9.2905
1.0e+245 *
0.0000 1.0220 0 1.0220
1.0e+246 *
0.0000 1.1242 0 1.1242
1.0e+247 *
0.0000 1.2366 0 1.2366
1.0e+248 *
0.0000 1.3602 0 1.3602
1.0e+249 *
0.0000 1.4963 0 1.4963
1.0e+250 *
0.0000 1.6459 0 1.6459
1.0e+251 *
0.0000 1.8105 0 1.8105
1.0e+252 *
0.0000 1.9915 0 1.9915
1.0e+253 *
0.0000 2.1907 0 2.1907
1.0e+254 *
0.0000 2.4097 0 2.4097
1.0e+255 *
0.0000 2.6507 0 2.6507
1.0e+256 *
0.0000 2.9158 0 2.9158
1.0e+257 *
0.0000 3.2073 0 3.2073
1.0e+258 *
0.0000 3.5281 0 3.5281
1.0e+259 *
0.0000 3.8809 0 3.8809
1.0e+260 *
0.0000 4.2690 0 4.2690
1.0e+261 *
0.0000 4.6959 0 4.6959
1.0e+262 *
0.0000 5.1655 0 5.1655
1.0e+263 *
0.0000 5.6820 0 5.6820
1.0e+264 *
0.0000 6.2502 0 6.2502
1.0e+265 *
0.0000 6.8752 0 6.8752
1.0e+266 *
0.0000 7.5628 0 7.5628
1.0e+267 *
0.0000 8.3190 0 8.3190
1.0e+268 *
0.0000 9.1509 0 9.1509
1.0e+270 *
0.0000 1.0066 0 1.0066
1.0e+271 *
0.0000 1.1073 0 1.1073
1.0e+272 *
0.0000 1.2180 0 1.2180
1.0e+273 *
0.0000 1.3398 0 1.3398
1.0e+274 *
0.0000 1.4738 0 1.4738
1.0e+275 *
0.0000 1.6211 0 1.6211
1.0e+276 *
0.0000 1.7833 0 1.7833
1.0e+277 *
0.0000 1.9616 0 1.9616
1.0e+278 *
0.0000 2.1577 0 2.1577
1.0e+279 *
0.0000 2.3735 0 2.3735
1.0e+280 *
0.0000 2.6109 0 2.6109
1.0e+281 *
0.0000 2.8720 0 2.8720
1.0e+282 *
0.0000 3.1592 0 3.1592
1.0e+283 *
0.0000 3.4751 0 3.4751
1.0e+284 *
0.0000 3.8226 0 3.8226
1.0e+285 *
0.0000 4.2048 0 4.2048
1.0e+286 *
0.0000 4.6253 0 4.6253
1.0e+287 *
0.0000 5.0878 0 5.0878
1.0e+288 *
0.0000 5.5966 0 5.5966
1.0e+289 *
0.0000 6.1563 0 6.1563
1.0e+290 *
0.0000 6.7719 0 6.7719
1.0e+291 *
0.0000 7.4491 0 7.4491
1.0e+292 *
0.0000 8.1940 0 8.1940
1.0e+293 *
0.0000 9.0134 0 9.0134
1.0e+294 *
0.0000 9.9148 0 9.9148
1.0e+296 *
0.0000 1.0906 0 1.0906
1.0e+297 *
0.0000 1.1997 0 1.1997
1.0e+298 *
0.0000 1.3197 0 1.3197
1.0e+299 *
0.0000 1.4516 0 1.4516
1.0e+300 *
0.0000 1.5968 0 1.5968
1.0e+301 *
0.0000 1.7565 0 1.7565
1.0e+302 *
0.0000 1.9321 0 1.9321
1.0e+303 *
0.0000 2.1253 0 2.1253
1.0e+304 *
0.0000 2.3379 0 2.3379
1.0e+305 *
0.0000 2.5716 0 2.5716
1.0e+306 *
0.0000 2.8288 0 2.8288
1.0e+307 *
0.0000 3.1117 0 3.1117
1682 Inf 0 Inf
1683 Inf 0 Inf
1684 NaN 0 NaN
1685 NaN 0 NaN
1686 NaN 0 NaN
1687 NaN 0 NaN
1688 NaN 0 NaN
1689 NaN 0 NaN
1690 NaN 0 NaN
1691 NaN 0 NaN
1692 NaN 0 NaN
1693 NaN 0 NaN
1694 NaN 0 NaN
1695 NaN 0 NaN
1696 NaN 0 NaN
1697 NaN 0 NaN
1698 NaN 0 NaN
1699 NaN 0 NaN
1700 NaN 0 NaN
Inf y NaN
En la salida del programa han aparecido los resultados Inf y NaN.
Inf es la forma en que Matlab representa el infinito, y se produce al obtener resultados muy grandes que desbordan la capacidad de representación, y también al efectuar operaciones como dividir un número positivo entre 0.
En este ejemplo se tiene que s(1681)=3.1117e+307 y al multiplicar este valor por 23/2 se obtiene un valor que no se puede representar, y por eso aparece s(1682)=Inf.
NaN significa Not-a-Number y se obtiene al efectuar operaciones que no están definidas matemáticamente, en este caso al restar infinito menos infinito al calcular s(1684).
Ej 2. Tras ejecutar el script sucesion2.m halle el error absoluto que se comete al considerar s(1300) como aproximación de (1/2)^1300. Idem para s(1390). Ejecute de nuevo el script sucesion.m y halle los errores que se cometen en los mismos términos de la sucesión. (Sol. Usando sucesion2.m el error absoluto para s(1300) es 5.8046e-090 y para s(1390) es 3.0840e+004 . Usando sucesion.m el error absoluto para s(1300) es 0 y para s(1390) es 0.)
Ej 3. Escriba un programa sucesion3.m que permita hallar los términos de la sucesión dada por s(1)=1/3, s(2)=1/9, s(i)=(10/3)*s(i-1)-s(i-2) para i>=3, y halle el error absoluto y relativo que se comete en los términos s(15) y s(45) sabiendo que operando de forma exacta se tiene que s(i)=(1/3)^i.
El programa debe producir un resultado como el siguiente:
Error absoluto al considerar s(15): -1.8392e-013
Error relativo al considerar s(15): -2.6390e-006
Error absoluto al considerar s(45): -37.8665
Error relativo al considerar s(45): -1.1187e+023
(Observe cómo este método para calcular la sucesión es inestable)
Condicionamiento
Un problema se dice mal condicionado si una pequeña variación en los datos del problema causa grandes variaciones en su solución. En estos problemas, los errores de redondeo pueden provocar grandes variaciones en los resultados.
Por ejemplo, el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado puede ser, a veces, un problema mal condicionado. Así, veremos cómo afecta a la solución de un cierto sistema de ecuaciones lineales un pequeño cambio en el vector de términos independientes.
Estudiaremos primero la manera de plantear un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y luego veremos ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales mal condicionados.
Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
Consideramos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales y dos incógnitas
2x+3y= 8,
x- y= -1.
(Este ejemplo se encuentra en el script sistema.m)
Para plantearlo en la forma A*x=b, comenzamos definiendo la matriz de coeficientes del sistema
A=[2 3; 1 -1] % Definimos ahora el vector de términos independientes del sistema b=[8; -1] % Como ejemplo, definiremos dos vectores columna x1, x2 y comprobaremos si % son solución del sistema. % Definimos el vector columna x1 x1=[1; 2] % Comprobamos si x1 es solución del sistema. (Como se obtiene una % columna de ceros, se cumplen todas las ecuaciones del sistema) A*x1-b
A =
2 3
1 -1
b =
8
-1
x1 =
1
2
ans =
0
0
Definimos el vector columna x2
x2=[2 ; 1] ;
% Comprobamos si x2 es solución del sistema
A*x2-b
ans =
-1
2
Debemos notar que al plantear un sistema de ecuaciones lineales usando matrices, el producto de la matriz de coeficientes del sistema por el vector de incógnitas se efectúa en Matlab con un asterisco A*x1 mientras que por escrito se denota con un punto A·x1.
Ej 4. Defina A la matriz de coeficientes del sistema
x+2y+ 3z=-6,
3x -z= 6,
y+(5/3)z=-4,
así como b el vector de términos independientes del sistema.
Compruebe si los siguientes valores de (x, y , z) son solución del sistema a) x=1, y= 1, z=-3. b) x=2, y= 0, z= 3. c) x=2, y=-4, z= 0. (Solución: Los valores de los apartados a y c son solución, los del b no lo son)
Solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Supongamos que tenemos un sistema planteado en la forma A*x=b. La 'división izquierda' A\b nos da una solución del sistema cuando A es una matriz regular. (En la práctica 9 usaremos la división izquierda con A una matriz no cuadrada y A*x=b incompatible; en tal caso, el vector que se obtiene al hacer A\b se dice que es la solución 'en el sentido de los mínimos cuadrados' del sistema A*x=b. De hecho, veremos que ese vector es el de los coeficientes del polinomio de un cierto grado (recta, parábola,...) que ajusta por mínimos cuadrados un conjunto de puntos del plano.) (Como regla mnemotécnica, en esta 'división izquierda' la matriz está en la izquierda, y siguiendo la barra en sentido ascendente, apunta hacia la izquierda. La tecla de la 'división izquierda' está a la izquierda del teclado.)
Hallamos la solución del sistema de ecuaciones lineales -x + y = 1, x + y = 3. (Este ejemplo se encuentra en el script solsistema.m)
% Definimos la matriz de coeficientes del sistema A=[-1 1; 1 1]; % Definimos el vector de términos independientes del sistema b=[1; 3]; % Como el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, la % matriz A de coeficientes del sistema es cuadrada. Hallamos el determinante % de A para ver si A es regular y, por tanto, comprobar si el sistema tiene % una única solución. det(A) % Usamos la 'división izquierda' para obtener la solución del sistema. x=A\b % Comprobamos que el vector x obtenido es solución del sistema. A*x-b
ans =
-2
x =
1
2
ans =
0
0
Ej 5. Halle la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales x+2y+3z= -2, 4x+5y+6z= -2, -x+ y+ z= -2. Halle el determinante de la matriz de coeficientes del sistema. (Sol. x=1, y=0, z=-1, determinante=6).
Ejemplo de sistema mal condicionado
Consideramos el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales y 2 incógnitas.
2.3x+1.2y=0.99,
4.4x+2.3y=1.89.
% Resolvemos el sistema
A=[2.3 1.2 ; 4.4 2.3];
b=[0.99; 1.89];
x=A\b
x =
0.9000
-0.9000
Veamos de qué manera un pequeño cambio en el vector de términos independientes afecta a la solución de este sistema.
% Consideramos el sistema % 2.3x+1.2y=1, % 4.4x+2.3y=1.9. % Resolvemos el sistema (la matriz de coeficientes es la misma) b1=[1; 1.9]; x1=A\b1 % Vemos que un pequeño cambio en el vector de términos independientes resulta % en un cambio mayor en la solución.
x1 =
2.0000
-3.0000
Este último sistema se dice que está 'mal condicionado'. En la siguiente sección de esta práctica se estudiará la norma de una matriz y el significado del número de condición de una matriz, y aprenderemos a calcularlos con Matlab.
Ej 6. Halle la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales
x+ 2y+3z=13,
2x+ y = 8,
(7/10)x+(29/10)y+5z=18.
(Sol. x=2, y=4, z=1).
Ej 7. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
x+ 2y+3z=13,
2x+ y = 8,
(8/10)x+(29/10)y+5z=18.
a) Defina la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes del sistema. b) Halle x0=A\b. (Compruebe como una variación de una décima en un coeficiente, respecto a la matriz del ejericio anterior, da lugar a una 'solución' muy diferente) c) Halle el determinante de la matriz A. (Sol. -2.2204e-015, aunque el valor exacto del determinante es 0, por lo que el sistema no tiene solución.) d) Halle A*x0-b. ¿Representa el vector x0 una solución del sistema?
Condicionamiento de una matriz
El condicionamiento (o número de condición) de una matriz cuadrada es igual a la norma de la matriz por la norma de su inversa. Aunque se pueden definir diferentes normas para una matriz, los números de condición para cada una de ellas no varían mucho de unas a otras. Cuando para alguna norma ocurre que el número de condición de la matriz está muy próximo a 1 se dice que la matriz está 'bien condicionada'; en cambio, cuando para alguna norma ocurre que el número de condición de la matriz es mucho mayor que uno entonces se dice que la matriz está 'mal condicionada'.
La función norm de Matlab permite calcular cuatro normas diferentes de una matriz y, por tanto, con MatLab podemos hallar cuatro números de condición para una matriz (uno por cada una de las cuatro normas).
norm(A,2)
norm(A,1)
norm(A,inf)
norm(A,'fro')
ans =
5.6018
ans =
6.7000
ans =
6.7000
ans =
5.6018
Por ejemplo si usamos la norma 1, podemos calcular el número de condición de la matriz A para esa norma con estas instrucciones
n=norm(A,1) ni=norm(inv(A),1) ncondicion=n*ni % Observamos que el número de condición obtenido es mucho mayor que uno y, % por tanto, la matriz A está mal condicionada.
n =
6.7000
ni =
670.0000
ncondicion =
4.4890e+03
También podría haberse hallado el condicionamiento para la norma 1 con la función cond.
cond(A,1)
ans = 4.4890e+03
Ej 8. Considere la matriz A=[1 3 -1; 0 2 -2; 3 2 4]. a) Halle el número de condición de la matriz A usando la norma 1. b) Halle el número de condición de la matriz A usando la norma 2. (Sol. 6.3050e+016, 4.1041e+016 multiplicando las normas. )
Observe que en ambos casos antes de calcular la inversa el propio Matlab nos avisa de que los resultados (los elementos de la inversa) pueden ser poco precisos. Además nos muestra (sin pedirlo) el valor de rcond(A) que es una estimación de 1/cond(A,1).
% Matemáticas II. Grado en Ingeniería Química. (A. Palomares)
disp(date)
03-Mar-2017