VARIABLE COMPLEJA

Departamento de Análisis Matemático
6 créditos

PRERREQUISITOS

Para entender el desarrollo del programa adecuadamente y seguir con aprovechamiento la asignatura, se necesita un conocimiento correcto de Análisis de funciones reales de una y varias variables, Topología elemental y Análisis complejo elemental. Para ello, son suficientes los contenidos de las asignaturas "Cálculo" de primer curso, "Análisis Matemático I" y "Topología I" de segundo curso, Análisis Matemático II de Tercer Curso. Asimismo, es recomendable tener unos conocimientos básicos de Análisis Funcional y de Teoría de la Medida, que se puede conseguir en las asignaturas de la Licenciatura de Matemáticas que llevan el mismo nombre.

OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA ASIGNATURA (DESTREZAS A CONSEGUIR)

Se pretende continuar y completar la formación del alumno en las técnicas de variable compleja, que ha aprendido durante el tercer curso de la Licenciatura. Se pretende que los estudiantes profundicen su conocimiento del análisis de una variable compleja. Para ello se han elegido una serie de temas y resultados clásicos. Además de afianzar las técnicas que han aprendido en la asignatura de Análisis Matemático II (Tercer Curso), se pretende conseguir una mayor madurez mediante el uso de ciertas técnicas aprendidas en la asignatura de Análisis Funcional

PROGRAMA DE TEORÍA

Capítulo preliminar: Revisión de conocimientos previos.

  • Funciones holomorfas, funciones analíticas
  • Teoría de Cauchy local. Primeras aplicaciones de la Teoría de Cauchy
  • Funciones armónicas. Funciones subarmónicas, principios del máximo.
  • Comportamiento local de una función holomorfa
  • Forma general del teorema de Cauchy.
  • Series de Laurent, singularidades, residuos.
  • Representación conforme, lema de Schwarz

C apítulo I: Principio del argumento

  • Funciones meromorfas, primeras propiedades.
  • Principio del argumento.
  • Ceros de un polinomio en una región angular.
  • Teoremas de Rouché y de Hurwitz

Capítulo II: Espacios de funciones holomorfas, Teorema fundamental de la representación conforme

  • Topología de la convergencia uniforme sobre compactos.
  • Compacidad en espacios de funciones continuas: Teorema de Arzelà-Áscoli
  • Compacidad en espacios de funciones analíticas, primer teorema de Montel.
  • Teorema de Riemann. Caracterizaciones de los abiertos simplemente conexos del plano

Capítulo III: Funciones holomorfas con ceros prefijados.

  • Productos infinitos.
  • Construcción de funciones holomorfas con ceros prefijados, teorema de Weierstrass.
  • Factorización de funciones enteras


Capítulo IV: Funciones enteras

  • La imagen de una función holomorfa. Teorema de Bloch-Landau
  • Teoremas de Picard

Capítulo V: Aproximación, Teorema de Runge.

  • Representación integral en un compacto, aproximación por funciones racionales.
  • Desplazamiento de polos, teorema de Runge.
  • Teorema generalizado de Mittag-Leffler

BIBLIOGRAFIA

BÁSICA

o R. B. ASH, Complex variables. Academic Press, New York (1971)
o J. BAK and D.J. NEWMAN. Complex analysis. Springer-Verlag, New York (1982)
o H. CARTAN Teoría elemental de las funciones analíticas de una y varias variables complejas. Selecciones científicas (1968)
o CONWAY, J.B.: Functions of one complex variable. Springer-Verlag, 1973.
o J. DUNCAN. Complex Analysis. John Willey and Sons, New York (1968)
o J. M. ESCANÉ. Fonctions d’une Variable Complexe. Masson et Cie, Paris (1972)
o A. S. B. HOLLAND. Complex function Theory. Elsevier North Holland, New York (1980)
o W. KAPLAN. Introduction to analytic functions. Addison Wesley, Reading, Massachusetts (1966)
o S. LANG. Complex Analysis. Addison wesley, Reading, Massachusetts (1977)
o E. LINES. Análisis Matemático IV. UNED, Madrid (1976)
o MARSDEN Y HOFFMAN, Basic complex analysis, Freeman, Nueva York, 1999.

COMPLEMENTARIA

o C. A. BERENSTEIN and R: GAY. Complex variables. An introduction. Springer-Verlag, New York (1991)
o R. P. BOAS. Entire Functions. Academic Press, New York (1954)
o R. B. BURCKEL. An introduction to classical complex analysis, Birkhauser, Nueva York, 1979.
o C. CARATHEODORY. Theory of functions of a complex variable. Vol I-II. Chelsea, New York (1964)
o P. DOLBEAULT. Analyse Complex. Masson, Paris (1990)
o P. HENRICI. Applied an Computational Complex Analysis. John Willeay and Sons, New York 1986)
o E. HILLE. Analytic function theory, Vol I-II. Chelsea, New York (1966)
o A. I. MARKUSHEVICH. Theory of Functions of a Complex Variable, Vol. I-II-III. Prentice-Hall, New York (2965-67)
o W. RUDIN, Real and complex analysis, McGraw-Hill International, Nueva York, 1987 (Tercera Edición).
o S. SAKS and A. ZYGMUND. Analytic Functions. Elsevier, Amsterdam (1971)
o G. SANSONE and J. GERRETSEN. Lectures on the Theory of Functions of a Complex Variable. Vol I-II. Wolters Noordhoff, Groningen (1960-69)
o S. L. SEGAL Nine introductions in Complex Analysis. North Holland, Amsterdam (1981)
o W. A. VEECH. A second course in complex analysisi. Benjamin, New York (1967)
o D. FEYEL y A. DE LA PRADELLE. Ejercicios sobre las funciones analíticas. Paraninfo, Madrid (1980)
o KRZYZ, Problems in Complex Variable Theory, Elsevier, New York (1971).
o G. POLYA and G. SZEGO. Problems and theorems in Analysis. Vol I-II. Springer-Verlag, Berlín (1972-76)
o L. VOLKOVYSKI, G. LUNTS e I. ARAMANOVICH. Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja. Mir, Moscú (1972)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Se tendrán en cuenta tanto el trabajo personal realizado por el alumno como las calificaciones obtenidas en los exámenes. Con el fin de disponer de suficientes datos objetivos, se procurará que el trabajo realizado por el alumno a lo largo del curso sea lo bastante amplio para que permita tener un buen criterio de la evaluación de la asignatura. Los exámenes consistirán en la resolución de diversas cuestiones de tipo teórico y práctico. Las fechas de los exámenes son fijadas por la Comisión Docente de Matemáticas http://www.ugr.es/local/cdocmat Con independencia de lo antes dicho y, de acuerdo con los Estatutos de la Universidad de Granada, todo alumno tiene derecho a ser evaluado por un tribunal formado por tres profesores del Departamento de Análisis Matemático. La composición de dicho tribunal, que es permanente para cada curso académico, se facilitará a todo el que lo desee en la Secretaría de dicho Departamento. Las fechas de los exámenes se anunciarán con antelación en el tablón de anuncios del Departamento de Análisis Matemático. También es conveniente consultar la página web de la Licenciatura de Matemáticas. Al margen de este sistema normal de evaluación, y de acuerdo con el artículo correspondiente del Reglamento de Régimen Interno del Departamento de Análisis Matemático, los alumnos podrán optar por el sistema de Evaluación por Tribunal previsto en el Artículo 137 de los Estatutos de la Universidad de Granada.