TEORÍA DE LA MEDIDA
Departamento de Análisis Matemático
6 créditos
PRERREQUISITOS
Para entender el desarrollo del programa adecuadamente y seguir con aprovechamiento la asignatura, se necesita un conocimiento correcto de los contenidos de Análisis de funciones reales de una y varias variables y de Topología. Para ello, son suficientes los contenidos de las asignaturas Cálculo de primer curso, Análisis Matemático I y Topología I" de segundo curso.
OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA ASIGNATURA (DESTREZAS A CONSEGUIR)
Se pretende que los estudiantes se familiaricen con los resultados y las técnicas fundamentales usadas en Teoría de integración. En este sentido, el alumno ya tiene un bagaje de conocimientos adquiridos en la asignatura de Análisis Matemático I, que debería de afianzar. Otros aspectos del temario, como son el Teorema de Radon-Nikodym y la diferenciación de medidas son totalmente nuevos para el alumno. Las técnicas usadas en esta asignatura optativa resultan útiles para las asignaturas de Análisis Funcional, Teoría de la probabilidad, Ecuaciones en derivadas parciales y Análisis de Fourier, entre otras.
Aunque en el Programa tan sólo se han incluido los contenidos teóricos, es claro que hay que desarrollar paralelamente un programa de problemas de acuerdo con tales contenidos. A este respecto hay que señalar que la única forma de aprender matemáticas es hacer matemáticas, lo cual exige la participación activa de los estudiantes, participación que estará potenciada por propuestas de ejercicios y de problemas.
PROGRAMA DE TEORÍA
Tema
I: Construcción de medidas
- Medida
exterior y medida. Procedimiento de Carathéodory.
- Teorema
de extensión de Hahn. Unicidad de la extensión
- Completación
de una medida. Ejemplos de medidas
Tema
II: Integración.
- Funciones
medibles
- Integral
asociada a una medida, teoremas de convergencia
- Espacios
Lp(µ). Ejemplos
Tema III: Medidas
producto. Teorema de Fubini.
- Existencia
y unidad de la medida producto.
- Teorema
de Fubini para funciones positivas, teorema de Hobson-Tonelli.
- Forma
general del teorema de Fubini
- Integral
de Lebesgue
Tema IV: Medidas
complejas. Teorema de Radon-Nikodym.
- Continuidad
absoluta, teorema de Radon-Nikodym para medidas positivas.
- Medidas
complejas, variación de una medida, descomposición
de Jordan de una medida real.
- Teorema
de Radon-Nikodym para medidas complejas.
- Descomposición
polar de una medida compleja y descomposición de Hanh de
una medida real.
- Medidas
singulares. Descomposición de Lebesgue.
- Duales
de los espacios Lp(µ).
Tema V: Medidas
en espacios topológicos.
- Funciones
continuas de soporte compacto
- Representación
de funcionales lineales positivos.
- Regularidad
de medidas de Borel
- Teorema
de Lusin
- Teorema
de representación de Riesz
Tema VI: Diferenciación
de medidas.
- Medidas de
Borel en R y funciones de variación acotada.
- Teorema
de diferenciación de Lebesgue.
- Forma general
del teorema fundamental del cálculo.
BIBLIOGRAFIA
- R. B. Ash. Measure, Integration and Functional Analysis. Academic Press, Nueva York, 1972
- H. Bauer, Probability Theory and Elements of Measure Theory. Academic Press, Londres, 1981
- S. K. Berberian. Measure and Integration. Chelsea, Nueva York, 1965
- D. L. Cohn. Measure Theory. Birkhäuser, Boston, 1980
- M. de Guzmán y B. Rubio, Integración: teoría y técnicas, Editorial Alhambra, S.A., Madrid, 1979.
- P.R. Halmos, Measure Theory, Springer-Verlag, Nueva York, 1974.
- E. Hewitt and K. Stromberg. Real and Abstract Analysis. Springer-Verlag, Berlín, 1965.
- S. Lang. Real Analysis. Addison-Wesley, Reading, 1983
- M. R. Munroe. Mesure and Integration. Addison-Wesley, Reading, 1971.
- J. C. Oxtoby. Measure and Category. Springer-Verlag, Nueva York, 1971
- I. N. Pesin. Classical and Modern Integration Theories. Academic Press, Nueva York, 1970
- M. M. Rao. Mesure Theory and Integration. John Willey and Sons, Nueva York, 1987
- W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill International, Nueva York, 1987 (Tercera Edición).
- S. J. Taylor. Introduction to Measure and Integration. Cambridge University Press, 1966.
- M. Valdivia Análisis Matemático V. Unidades didácticas 4-5-6. UNED, Madrid, 1979
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Se tendrán en cuenta tanto el trabajo personal realizado por el alumno como las calificaciones obtenidas en los exámenes. Se realizarán pruebas escritas de corta duración en horas de clase. Además se asignarán ejercicios para hacer. Los exámenes consistirán en la resolución de diversas cuestiones de tipo teórico y práctico. Las fechas de los exámenes son fijadas por la Comisión Docente de Matemáticas
(http://www.ugr.es/local/cdocmat).
Con independencia de lo antes dicho y, de acuerdo con los Estatutos de la Universidad de Granada, todo alumno tiene derecho a ser evaluado por un tribunal formado por tres profesores del Departamento de Análisis Matemático. La composición de dicho tribunal, que es permanente para cada curso académico, se facilitará a todo el que lo desee en la Secretaría de dicho Departamento.
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