TEORÍA ALGEBRAICA DE NÚMEROS

PROGRAMA DE TEORÍA

1. RESIDUOS CUADRÁTICOS
   Unidades de los anillos de residuos. Raíces primitivas módulo un primo p. Residuos cuadráticos. Símbolo de Legendre. Criterio de Euler. Criterio de Gauss. Ley de reciprocidad cuadrática de Gauss.  

2. ANILLOS DE ENTEROS ALGEBRAICOS
   Números algebraicos y enteros algebraicos. Cuerpos numéricos. Anillos de enteros algebraicos. Bases enteras. Discriminante. Anillos de enteros cuadráticos. Anillos de enteros ciclotómicos.

3. FACTORIZACIÓN EN ANILLOS DE ENTEROS ALGEBRAICOS
   Dominios de factorización. Anillos de enteros que son D.F.U.. Anillos de enteros que son Dominios euclídeos.

4. FACTORIZACIÓN DE IDEALES EN ANILLOS DE ENTEROS ALGEBRAICOS
   Ideales fraccionarios. Dominios de Dedekind. Norma de un ideal de un anillo de enteros. Propiedades. Extensión de ideales de Z en un anillo de enteros. Indice de ramificación y grado de inercia.

5. RETÍCULOS. GEOMETRÍA DE NÚMEROS
   Retículos, dominio fundamental. Teorema de Minkowski. Aplicaciones: Teormea de los cuatro cuadrados. El espacio L^s,t , la inmersión real de un cuerpo numérico.

6. GRUPO DE CLASE DE UN ANILLO DE ENTEROS ALGEBRAICOS
   Grupo de clase de un Dominio de Dedekind. La cota de Minkowski. Finitud del grupo de clase de un anillo de enteros. Cálculo de algunos grupos de clase elementales. Extensiones de un anillo de enteros en que sus ideales se extienden a ideales principales.

7. UNIDADES DE LOS ANILLOS DE ENTEROS ALGEBRAICOS. TEOREMA DE LAS UNIDADES DE DIRICHLET
   La inmersión logarítmica. Raíces de la unidad en un anillo de enteros. Teorema de Dirchlet. Unidades fundamentales. Determinación de las unidades de los cuerpos cuadráticos y ciclotómicos.

BIBLIOGRAFÍA