GEOMETRÍA GLOBAL DE CURVAS Y SUPERFICIES

PROGRAMA DE TEORÍA

1. TEORÍA GLOBAL DE CURVAS.
   
   1. Curvas y parametrizaciones: Curvas parametrizadas e imágenes. Curvas simples. Clasificación.

2. CURVAS PLANAS.
   
   1. El teorema de la curva de Jordan: Separación local. Intersección de curvas y rectas. Teorema de Sard para funciones de una variable. Teorema de la curva (diferenciable) de Jordan. Entornos tubulares.
   2. El teorema de la divergencia: Fórmula de la longitud y consecuencias. Campos en el plano. Divergencia. Teorema de la divergencia. Algunas consecuencias: teorema del punto fijo de Brower, teorema de los residuos de Cauchy, etc.
   3. La desigualdad isoperimétrica: Desigualdad de Brunn-Minkowski. Desigualdad isoperimétrica Otras dos demostraciones. Puntos críticos de la longitud con área fija.
   4. Óvalos: Curvatura positiva y convexidad. Versiones planas de los teoremas de Hadamard y Stoker. El teorema de los cuatro vértices para óvalos.
   5. Índice de rotación: Nociones de la teoría del grado unidimensional. índice de rotación y el teorema de Whitney-Grauenstein. El Umlaufsatz. Caracterización de las curvas convexas.
   6. El teorema de los cuatro (o más) vértices: Comparación de curvas y circunferencias. Circunferencia circunscrita a un compacto. El teorema de los cuatro vértices.

3. CURVAS EN EL ESPACIO.
   
   1. Teoremas globales sobre curvas alabeadas: Longitud de curvas esféricas. El teorema de Fenchel. La fórmula de Crofton y el teorema de Fary-Milnor.

4. TEORÍA GLOBAL DE SUPERFICIES.
   
   1. Separación y orientabilidad: Intersecciones de rectas y superficies. versión del teorema de Sard en dimensión dos. Versió% n del teorema de Jordan en dimensión dos. Orientabilidad: el teorema de Brower-Samelson. Entornos tubulares.
   2. Integración en superficies compactas: Integración en superficies y propiedades. Áreas. Fórmula de cambio de variables. Teorema de Fubini. Volúmenes. Fórmula del área. El teorema de Chern-Lashoff. El teorema de Green-Gauss y sus consecuencias.
   3. La curvatura de Gauss: Ovaloides.Curvatura positiva y convexidad. Teoremas de Hadamard y de Stoker. Fórmulas de Minkowski y consecuencias: el teorema de Hilbert-Liebmann y el teorema de Jellett.
   4. La curvatura media y la cuestión isoperimétrica: Desigualdad de Heintze-Karcher. Teorema de Alexandrov. Teorema de Brunn-Minkowski y desigualdad isoperimétrica.
   5. El teorema de Gauss-Bonnet-Poincaré: Grado de aplicaciones diferenciables entre superficies. Invarianza por cobordismo y por homotopías. Índice de un campo en un cero aislado. Teorema de Gauss-Bonnet-Poincaré y característica de Euler. Invarianza por difeomorfismos de la característica de Euler.