ANÁLISIS VECTORIAL

Departamento de Análisis Matemático
6 créditos

PROGRAMA DE TEORÍA

PRIMERA PARTE: TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL.

Tema 1. Longitudes, áreas y volúmenes.

  • Medidas k-dimensionales en RN.
  • Integración en variedades. Existencia y unicidad.

Tema 2. Integrales de línea e integrales de superficie.

  • Circulación y flujo.
  • Operadores diferenciales clásicos: interpretación.
  • Teorema de Green, teorema de Stokes y teorema de la divergencia: versiones elementales.

Tema 3. Potenciales.

  • Campos irrotacionales: potenciales escalares.
  • Campos solenoidales: potenciales vectoriales.
  • Funciones armónicas.
  • Fórmulas de Green.
  • Medidas de Hausdorff.
  • Relación con la teoría del potencial.

Tema 4: Teorema de Green, teorema de Stokes y teorema de la divergencia

  • Versiones generales.

SEGUNDA PARTE: APLICACIONES.

Tema 1. Campos gravitatorios newtonianos y campos electrostáticos.

  • Leyes de Kepler.
  • Análisis del campo gravitatorio terrestre.
  • Teorema de Gauss.

Tema 2. Campos electromagnéticos.

  • Ley de Biot y Savart. Ley de Faraday. Ley de Ampère.
  • Ecuaciones de Maxwell.

3. Estática y dinámica de fluidos.

  • Principio de Arquímedes.
  • Ecuación fundamental de la estática de fluidos.
  • Ecuación de transporte y ecuación de continuidad en el movimiento de fluidos.
  • Fluidos perfectos: ecuaciones de Euler.
  • Fluidos viscosos: ecuaciones de Navier-Stokes.

4. Teoría analítica del calor.

  • Difusión del calor. Ley de Fourier: ecuación del calor.
  • Condiciones de contorno: ley de enfriamiento de Newton.

BIBLIOGRAFIA

Básica.
  • C. Conde Sánchez, Cálculo integral vectorial. Tebar Flores, 1988.
  • S. Dineen, Multivariate calculus and geometry. Springer Undergraduate Mathematical Series, Springer, 1998.
  • J. L. Galán García, Análisis vectorial para la ingeniería. Teoría y problemas. Bellisco, Ediciones técnicas y científicas, 1998.
  • J. E. Marsden y A. J. Tromba, Vector calculus. W. H. Freeman and company, 1999.
  • P. C. Matthews, Vector Calculus. Springer, 2001.
  • J. J. Scala Estalela, Análisis vectorial. Volumen II: Campos.} Editorial Reverté, S. A., 1990.
  • M. R Spiegel, Theory and problems of vector analysis and an introduction to tensor analysis. Schum's Outline Series, McGraw-Hill Book Company, 1959.
Complementaria.
  • R. Abraham, J. E. Marsden y T. Ratiu, Manifolds, tensor analysis, and applications. Springer-Verlag, 1988.
  • H. Grunsky, The general Stokes' theorem. Pitman, 1983.
  • K. J. Janich, Vector analysis. Springer, 1993.
  • S. P. Kiselev, E. V. Vorozhtsov y V. M. Fomin, Foundations of fluid mechanics with applications. Birkhauser, 1999.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

  • Trabajos presentados y académicamente dirigidos, teóricos o prácticos, sobre el contenido del curso y que se propondrán a lo largo de éste.
  • Participación activa en clases y otras actividades que garanticen una evaluación objetiva.
  • Si los apartados anteriores resultasen insuficientes para la evaluación se puede optar por un examen escrito.
Al margen de este sistema normal de evaluación, y de acuerdo con el artículo correspondiente del Reglamento de Régimen Interno del Departamento de Análisis Matemático, los alumnos podrán optar por el sistema de Evaluación por Tribunal previsto en el Artículo 137 de los Estatutos de la Universidad de Granada.