GEOMETRÍA II 
(programa antiguo, curso 01-02)

Departamento de Geometría y Topología
9 créditos

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PROGRAMA DE TEORÍA

  1. EL ESPACIO AFIN-EUCLÍDEO Rn.
    Subespacios afines: operaciones entre subespacios y paralelismo. Sistemas de referencia, símplices y baricentros. Ecuaciones de subespacios y posición relativa. Distancia Euclídea, perpendicularidad y ángulos. Circunferencias, esferas, cilindros y conos. Potencia de un punto respecto de una esfera. Distancia entre figuras.

  2. TRANSFORMACIONES AFINES.
    Aplicaciones afines. Transformaciones. Traslaciones y homotecias. Invriantes afines. Figuras afines: símplices, retículos, paralelepípedos, diedros y triedros. Algunos teoremas de la Geometría plana: triángulos y trigonometría.

  3. MOVIMIENTOS RÍGIDOS.
    Propiedades básicas. Reflexiones y reflexiones deslizantes. Rotaciones. Estudio y clasificación de movimientos en el plano y en el espacio. Semejanzas. La inversión respecto de una esfera y sus propiedades.

  4. CONVEXOS.
    Propiedades básicas y ejemplos. Combinaciones convexas, envolvente convexa y Teorema de Caratheodory. Teorema de Helly y aplicaciones. Teoremas de separación e hiperplanos soporte. Circunradio de una figura y Teorema de Jung.

  5. FIGURAS SIMÉTRICAS.
    El grupo de simetrías de una figura. Polígonos regulares. Retículos. Grupos discretos de movimientos del plano. Sólidos Platónicos.: dualidad y clasificación. Grupos finitos de movimientos del espacio.

  6. EL ESPACIO PROYECTIVO.
    Definición y modelos. Dimensión proyectiva, subespacios proyectivos y Teorema de dimensiones. Coordenadas homogéneas y dualidad. Colineaciones, proyectividades y perspectividades. Sistemas de referencia proyectivos y determinación de proyectividades. La recta proyectiva, razón doble y transformaciones de Möbius. Figuras proyectivas. Teoremas clásicos (Desargues, Pappus, ...). Geometría afín y Geometría proyectiva.

  7. CÓNICAS Y CUÁDRICAS.
    Definición y ejemplos. Intersección con una recta. Ecuaciones homogéneas. Clasificación proyectiva. Polaridad, tangencia y dualidad. Proyectividades y cónicas. Teoremas clásicos (Pascal, Brianchon,...). Elementos afines y métricos. Clasificaciones afín y métrica. Teoría de haces. aplicación de Veronese. Determinación de cónicas y cuádricas. Propiedades focales. Casos particulares: Elipse, Hipérbola, Parábola, Cuádricas regladas y Cuádricas de revolución.

  8. GEOMETRÍA HIPERBÓLICA Y ELÍPTICA
    El axioma del paralelismo: historia (Lobatchevsky y Bolyai). Modelos de las geometrías no euclídeas (Cayley, Klein). El plano hiperbólico (Beltrami, Poincaré). Lineas y polaridad. Ángulo de paralelismo. Ultraparalelas. Movimientos. Trigonometría hiperbólica. El plano elíptico. Líneas. Movimientos. Trigonometría elíptica y esférica.

PROBLEMAS

Cada tema va acompañado de una sección de problemas en donde se consideran situaciones y propiedades relacionadas con las tratadas en el tema o qu completan aspectos del temario. Una parte de estos problemas se propondrán como tareas a desarrollar por los alumnos.

PRÁCTICAS DE ORDENADOR

Prácticas con los programas Sketchpad, Cabri y otros paquetes gráficos.
  1. Geometría plana.
  2. Cónicas.
  3. Geometría hiperbólica.

BIBLIOGRAFÍA

  • M. BERGER. Geometry, vol. 1 y 2. Springer-Verlag, 1987.
  • E.G. REES. Notes on Geometry. Springer-Verlag, 1983.
  • G.E. NARTIN. Transformation Geometry. An introduction to Symmetry. Springer-Verlag, 1997.
  • W. GREUB. Linear Algebra. Springer-Verlag, 1981.
  • J.G. SEMPLE, G.T. KNEEBONE. Algebraic Projective Geometry. Oxford, 1963.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Se realizarán dos exámenes cuatrimestrales y un examen final en donde los alumnos podrán recuperar los exámenes parciales que tengan pendientes. Estos exámenes se complementaán con pruebas escritas de corta duración que se realizarán a lo largo del curso y con la nota obtenida en las prácticas de ordenador. Estos complementos supondrán hasta un 20% del total de la calificación de cada parcial.

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