Paralelogramos

Un cuadrilátero pqrs en el plano es un conjunto de 4 puntos  (llamados vértices) p, q, r, s tales que no hay 3 de éllos alineados. Las rectas p v q,  q v r,  r v s,  s v p se llaman lados. Las rectas p v rq v s   se llaman diagonales.

 

Un   paralelogramo es un cuadrilátero tal que los dos pares 
de lados opuestos son paralelos  p v q  //  r v s,  q v r // s v p.

(1) Demostrar que el cuadrilátero pqrs es un paralelogramo     <=>   q - p  =  r - s    <=>   r - q  =  s - p   <=>  las dos diagonales se cortan en su punto medio.

(2) Sean R, R', S y S' cuatro rectas distintas en el plano tales que   R // R',  S // S' y R no es paralela a S. Demostrar que las cuatro rectas son los lados de un paralelogramo.



(3) Demostrar que los cuatro puntos medios de los lados de un cuadrilátero están alineados o forman un paralelogramo.



(4) Caso particular del Teorema de Pappus.  Sean p, q, r
y  p', q', r' dos ternas de puntos distintos que están sobre dos rectas paralelas y distintas. Demostrar que

q v p'  //  r v q'   y   p v q' // q v r'    =>   p v p'  //  r v r' .