/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/ /* [ Created with wxMaxima version 0.8.7 ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Práctica 4. (Tema IV) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ejercicios planteados en 'Cuaderno de actividades prácticas de Matemáticas II' de Berenguer et al. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Extremos relativos [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ejemplo. Estudia los extremos relativos de las siguientes funciones: f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y, (x,y)\in R^2. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] En primer lugar definimos la función f. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x,y):=x^3+3*x*y^2-15*x-12*y; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(0,0); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Hallamos las derivadas parciales [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ jacobian([f(x,y)],[x,y]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Igualamos las parciales a cero y resolvemos el sistema, con lo que obtenemos los puntos críticos. (Copiamos y pegamos las derivadas parciales) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ algsys( ,[x,y]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Observamos que hemos hallado 4 puntos críticos. Para poder estudiar estos puntos críticos hallamos la matriz hessiana. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ hessian(f(x,y),[x,y]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para poder evaluar la matriz hessiana en cada uno de los puntos críticos, definimos la función h como la matriz hessiana. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ define(h(x,y), hessian(f(x,y),[x,y]) ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h(2,1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ determinant(h(2,1)); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como el primer menor es 12>0 y el deteminante es 108>0, tenemos en el punto (2,1) un minimo relativo. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Idem los otros tres puntos críticos (está hecho en las prácticas) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h(1,2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ determinant(h(1,2)); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como el deteminante es -108<0, tenemos en el punto (1,2) un punto de silla. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h(-1,-2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ determinant(h(-1,-2)); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como el deteminante es -108<0, tenemos en el punto (-1,-2) un punto de silla. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h(-2,-1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ determinant(h(-2,-1)); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como el primer menor es -12<0 y el deteminante es 108>0, tenemos en el punto (-2,-1) un máximo relativo. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Extremos condicionados [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 1- Definimos la función f. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 2- Definimos las funciones g1 y g2, de forma que las restricciones sean g1=0, g2=0. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ g1(x,y,z):=x+2*y+z-10; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ g2(x,y,z):=x^2+y^2-z; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 3- Definimos la función lagrangiana, en este caso con dos multiplicadores de Lagrange. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ Lf(x,y,z,a1,a2):=f(x,y,z)-a1*g1(x,y,z)-a2*g2(x,y,z); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 4- Calculamos las derivadas de la función lagrangiana. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ jacobian([Lf(x,y,z,a1,a2)],[x,y,z,a1,a2]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 5- Hallamos los puntos críticos de la función lagrangiana (copiamos y pegamos las derivadas) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ algsys( ,[x,y,z,a1,a2]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 6- (El gradiente de f no se anula en la restricción) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Evaluamos en los posibles extremos absolutos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(-2,-4,20); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(1,2,5); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Extremos absolutos [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ejemplo: Calculemos los extremos absolutos de la función f(x,y)=x^2-y^2 en el círculo K={ (x,y) : x^2+y^2<=1 }. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] En primer lugar hallaremos los puntos críticos de la función f. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Definimos la función f : [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x,y):=x^2-y^2; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Hallamos sus parciales, para obtener los puntos críticos : [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ jacobian([f(x,y)],[x,y]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Igualamos las parciales a cero y resolvemos el sistema, con lo que obtenemos los puntos críticos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ algsys([2*x=0,-2*y=0],[x,y]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] El punto hallado está en el interior del dominio. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Hallaremos los extremos de f condicionados a la frontera del dominio en 5 pasos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 1- La función f ya está definida. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 2- Definimos la función g, que es la restricción que nos da la frontera del compacto : [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ g(x,y):=x^2+y^2-1; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 3- Definimos la función lagrangiana [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ Lf(x,y,a):=f(x,y)-a*g(x,y); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 4- Calculamos las derivadas de la función lagrangiana : [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ jacobian([Lf(x,y,a)],[x,y,a]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 5- Hallamos los puntos críticos de la función lagrangiana [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ algsys([2*x-2*a*x=0,-2*a*y-2*y=0,-y^2-x^2+1=0],[x,y,a]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: hide output ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 6- (El gradiente de f no se anula en la restricción) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Evaluamos en los posibles extremos absolutos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(0,0); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(1,0); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(-1,0); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(0,-1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(0,1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] El máximo de la función es 1 y se alcanza en los puntos (1,0) y (-1,0). El mínimo de la función es -1 y se alcanza en los puntos (0,-1) y (0,1). [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Ejercicios. [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: subsect start ] (Extremos relativos) [wxMaxima: subsect end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ejercicio: Halle los extremos relativos de la función k(x,y)=x^3+y^3-6xy-39x+18y+20 [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] En primer lugar definimos la función k [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ k(x,y):= /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para poder determinar los puntos críticos necesitamos el gradiente de la función k. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ jacobian /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Vemos que la parcial de k con respecto a x es -6*y+3*x^2-39 y que la derivada de k con respecto a y es 3*y^2-6*x+18. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Los puntos críticos serán aquellos que hagan que el gradiente valga (0,0), esto es, que las dos primeras parciales valgan cero. Para resolver ese sistema de ecuaciones usamos el comando algsys. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ algsys /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Observamos de la salida que tenemos 4 puntos críticos, pero dos de ellos son numeros complejos. Como consideramos que las funciones son de variables reales, descartamos los puntos complejos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Es decir, tenemos dos puntos críticos, uno es [x=3.361470388019061, y=-0.85025906735751] y el otro es [x=3.973806506125898, y=1.395569054850813] . [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para determinar si los puntos críticos hallados son extremos o no, debemos estudiar el hessiano de la función k. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ define(h(x,y) /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Evaluamos el hessiano en el primer punto crítico. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h1:h( , ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ determinant(h1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como el determinante de la matriz hessiana es negativo, deducimos que no hay extremo relativo en ese punto. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Evaluamos el hessiano en el otro punto crítico. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h2:h( , ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ determinant(h2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como el determinante de la matriz hessiana es positivo, deducimos que tenemos un estremo relativo. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como la derivada segunda respecto de x dos veces es 23.84283903675539>0 (el primer elemento de la matriz hessiana es positivo), deducimos que en este punto crítico hay un mínimo relativo. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: subsect start ] [wxMaxima: subsect end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] (Ejercicio 14 de la relación.) Dada la función f(x,y)=x^2+y^2+x+y. Halla los máximos y mínimos absolutos de dicha función en el conjunto D={ (x,y)\in R^2 : x^2+y^2<=4, y<=1 }. Solución. Extremos en el interior de D : (-1/2, -1/2). Extremos en y=1 : (-1/2, 1). Puntos de la intersección de x^2+y^2=4, y=1 : (-sqrt(3), 1), (sqrt(3), 1) Extremos en x^2+y^2=4 : (-sqrt(2), -sqrt(2)) El máximo valor de f es 5+sqrt(3), que se alcanza en el punto (x, y) = (5+sqrt(3), 1), y el mínimo valor de f es -1/2 , que se alcanza en el punto (x, y) = (-1/2, -1/2). [wxMaxima: comment end ] */ /* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */ "Created with wxMaxima"$