/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/ /* [ Created with wxMaxima version 0.8.7 ] */ /* [wxMaxima: title start ] Práctica 3 [wxMaxima: title end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Integral indefinida (cálculo de primitivas) [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 1- Una integral de una función trigonométrica [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ integrate( sin(2*x),x ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Comprobamos [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff( -cos(2*x)/2 ,x ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 2- Una integral racional [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ o: integrate( (x^2+x+1)/(x^2-3*x+2), x ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Comprobamos [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff( o, x ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ radcan( diff( o, x ) ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 3- Una primitiva que no se puede expresar con funciones elementales [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ integrate(%e^(-x^2),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Integral indefinida [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Vamos a hallar el área de un semicírculo de radio uno. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ wxplot2d(sqrt(1-x^2),[x,-1,1]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Mediante una integral definida hallamos el área que hay entre la curva, el eje horizontal, y las rectas x=-1, y x=1. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ integrate(sqrt(1-x^2),x,-1,1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Podemos hallar integrales impropias [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ integrate(1/(1+x^2), x, 0, inf); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] La siguiente orden integrate no nos da un valor numérico. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ integrate(%e^(sin(x)),x,3,4); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Veremos formas de hallar una aproximación numérica al valor de esta integral definida. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Fórmulas de integración numérica [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x):=sqrt(1-x^2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] La representamos gráficamente [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ wxplot2d(f(x),[x,-1,1]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Definimos los extremos del intervalo [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ a:-1.0; b:1; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Definimos el número de subintervalos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ n:100; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Llamamos h a la longitud de cada intervalo [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h:(b-a)/n; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Cada subintervalo tiene dos extremos. El extremo izquierdo es a+(i-1)*h y el extremo de la derecha es a+(i)*h [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 1- Método de aproximación con los extremos izquierdos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Recordamos la fórmula. La función en los extremos izquierdos vale [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(a+(i-1)*h); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] esta es la altura del rectángulo. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] El área del rectángulo es [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(a+(i-1)*h) * h; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ahora sumamos las áreas de todos los rectángulos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ suma: sum(f(a+(i-1)*h) * h, i, 1, n); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Comprobamos el resultado [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ suma-%pi/2,numer; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 2- Método de aproximación con los extremos derechos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ suma: sum(f(a+i*h) * h, i, 1, n); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ suma-%pi/2,numer; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 3- Regla del punto medio. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ suma: sum(f(a+(i-1/2)*h) * h, i, 1, n); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ suma-%pi/2,numer; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] 4- Regla de los trapecios. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Si consideramos el trapecio formado por los puntos de abscisas x=a+(i-1)*h, x=a+(i)*h, y las ordenadas que resultan al evaluar la función, f(a+(i-1)*h), f(a+(i)*h) , el área del trapecio es [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h* ( f(a+(i-1)*h)+ f(a+(i)*h))/2; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Sumamos las áreas de todos los trapecios [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ suma: sum(h* ( f(a+(i-1)*h)+ f(a+(i)*h))/2, i,1,n); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ suma-%pi/2,numer; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ejemplo página 45. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x):=sqrt(x+1) /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Instrucciones de Máxima. [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ quad_qags(%e^(sin(x)),x,3,4); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ romberg(%e^(sin(x)),x,3,4); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Ejercicio 11 página 48. (Caudal de un rio) [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ p:[0.3, 0.9, 1.7, 2.1, 2.8, 3.4, 3.3, 3.0, 3.5, 2.9, 1.7, 1.2, 0.8, 0.6]; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] p es un vector. (No es una función) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Todos los trapecios tienen base = 2 [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] El primer trapecio tiene alturas 0.3 y 0.9. El área del primer trapecio es [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ 2* (0.3+0.9)/2; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ 2* (p[1]+p[2])/2; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] El trapecio i tiene alturas p(i) y p(i+1), y área 2*(p[i]+p[i+1])/2, si sumamos [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ sum(2*(p[i]+p[i+1])/2, i, 1, 13); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Con lo cual la sección del río mide 55.5 metros cuadrados. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para hallar el caudal multiplicamos el area de la sección por la velocidad. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ 55.5*1.3; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] medido en metros cúbicos por segundo. [wxMaxima: comment end ] */ /* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */ "Created with wxMaxima"$