/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/ /* [ Created with wxMaxima version 0.8.7 ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej 31. Dos pueblos se encuentran a la orilla de un lago. Sus distancias más cercanas a los puntos de la orilla son 1km y 2km respectivamente y estos puntos de la orilla se encuentran a una distancia en línea recta de 6 km. Se quiere construir un muelle pesquero (en la orilla del lago) y unir dicho muelle con cada uno de los pueblos con dos carreteras rectas. ¿Dónde debe localizarse dicho muelle para que el coste de construcción de dichas carreteras sea mínimo? [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] (las distancias son x y 6-x, el coste de construcción es proporcional a la suma de las dos hipotenusas) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x):=sqrt(x^2+1)+sqrt((6-x)^2+4); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] (Representamos la función f, para hacernos una idea de cómo varía el coste en función de x) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ wxplot2d(f(x),[x,0,6]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] La función f está definida en el intervalo cerrado [0,6]. Como la función f es continua y el intervalo es cerrado y acotado, por el teorema de Weierstrass, es seguro que la función alcanza extremos absolutos en el intervalo [0,6]. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Los extremos de la función f se encuentran en los conjuntos A, B y C. A=Puntos críticos. B=Frontera = {0, 6}. C=Puntos donde f no es derivable. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para hallar los puntos críticos, debemos derivar la función f. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ define(g(x), diff(f(x),x) ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Representamos la derivada. Buscaremos puntos en los que la derivada valga cero. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ wxplot2d(g(x),[x,-7,6]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ find_root(g(x),x,0,6); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] (Operando en simbólico se puede hallar de forma exacta el punto crítico ... ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ solve(x^2+4*x-12=0,x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] El extremo se encuentra en uno de estos puntos : 0, 2 y 6. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(0); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(6); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] El mayor valor de f es el máximo, y el menor de valor de f es el mínimo. Para saber cual de los tres valores es el mínimo, podemos obtener la representación numérica con f(0),numer o bfloat(f(0)) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(0),numer; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(2),numer; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(6),numer; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como 6.708... es el menor valor de los tres, f alcanza el mínimo absoluto en x=2. [wxMaxima: comment end ] */ /* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */ "Created with wxMaxima"$