3.2 Radios de las órbitas

Por los postulados 1 y 2 se tiene el sistema de ecuaciones

$$\frac{KZe^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$ (12)

$$mvr = n\hbar$$ (13)

de la segunda ecuación

$$v= \frac{n\hbar}{mr}$$ (14)

Sustituyendo en la primera

$$KZe^2 = mv^2r = m\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}r = \frac{n^2\hbar^2}{mr}$$ (15)

Despejando el radio

$$r=\frac{n^2\hbar^2}{KZe^2 m} = \frac{n^2}{Z}a$$ (16)

donde la constante $a$ es el radio de Bohr

$$a= \frac{\hbar^2}{Ke^2m} = 0.529 \mbox{\AA}$$ (17)

En el caso del átomo de hidrógeno, $Z=1$, se obtiene para la primera órbita $n=1$, r=a=0.529 Å

Ejercicio. Calcular el valor de las constantes $\hbar c$, $Ke^2$, $\alpha=\frac{Ke^2}{\hbar c}$, demostrar que el radio de Bohr es $a=\frac{\hbar c}{\alpha mc^2}$ y calcularlo.

Solución.

$\hbar c$	1973 eV Å
$Ke^2$	14.39976 eV Å
$\frac{\hbar c}{Ke^2}$	137.036
$\alpha=\frac{Ke^2}{\hbar c}$	$\frac{1}{137.036}$ (cte. de estructura fina)

Radio de Bohr

$$a=\frac{\hbar^2}{Ke^2m} = \frac{\hbar^2 c^2}{Ke^2 mc^2} =\fr... ...\rm eV \mbox{\AA}}{0.511\times 10^6 \rm eV} = 0.529 \mbox{\AA}$$ (18)