Voy
a hacer el análisis de un sistema de transferencia lineal de otra
manera que creo un poco más simple que las derivadas (es para caso
discreto pero espero entiendas la idea):
La función de transferencia de un sistema lineal es resultado de
aplicar algo llamado "La Transformada Z" que no es más
que una ampliación de la Transformada de Fourier. Por ejemplo:
Se tiene un sistema en el que la entrada es una función cualquiera
de variable discreta x(n). La salida será una combinación
lineal de la entrada, que puede ser:
y(n) = a*x(n) + bx(n-c) donde t-c es un retraso de "c" unidades
y "a" y "b" son constantes (pueden haber muchos más
sumandos con distintos retrasos de x). Si y(n) es una salida con retroalimentación
sería:
y(n) = a*x(n) + bx(n-1)+y(n-1) Donde y(n-d) es la salida de algún
momento anterior que vuelve a ingresar al sistema.
Un sistema causal no admite entradas de tiempos futuros, por eso jamás
se puede poner x(n+c) ó y(n+d) porque son entradas y salidas futuras.
Sólo pueden haber entradas y salidas anteriores, y los retrasos
que las indican y distinguen son términos que se restan. Sólo
los sistemas causales pueden ser implementados en la realidad porque de
otra forma tendríamos que trabajar con valores de las funciones
que aún no han sido generados.
Para sacar la ecuación de transferencia se aplica la Transformada
Z, lo que es simplemente cambiar la variable "n" por "z"
y agregar un término "z" elevado al retraso (con todo
y signo, si fueran adelantos que harían el sistema no causal, los
exponentes serán positivos). Entonces, la salida quedaría
(con realimentación):
y(z) = a*x(z)*z^0 + bx(z)*z^(-c)+y(z)*z^(-d)
La ecuación de transferencia es: y(z)/x(z) que es el comportamiento
del sitema en sí. Se le denomina H(z):
H(z) = y(z)/x(z)=[a + b*z^(-c)]/[1-z^(-d)]
El verdadero comportamiento matemático de H(z) se calcula con exponentes
positivos, si le asignamos a "c" y "d" cualquier valor,
por ejemplo 4 y 3 y "a" y "b" igual a 1 será:
H(z)=[1 + z^(-4)]/[1-z^(-3)]
Para convertir a exponentes positivos simplemente se multiplica numerador
y denominador por z^(mayor exponente ! en valor absoluto):
H(z)=[z^(4)+1]/[z^(4)-z]
Si se hace por ejemplo c=2 y d=3 H(z) es:
H(z)=[z^(3)+z]/[z^(3)-1]
Esto es para demostrar que numerador y denominador pueden tener cualquier
grado, la condición para un sistema causal es que TODOS los exponentes
de la variable z sean menores o iguales a cero antes de hacer esta conversión.
Para mayor información puedes buscar en internet páginas
que expliquen lo que es El Diagrama de Polos y Zeros o Diagrama de Bode.
Yelinna (Lima - Perú).
alvana_albikait@yahoo.com
Pd: ¡He tratado de explicarlo sencillo!