PROBLEMAS DE TIPO MIXTO PARA LA ECUACIÓN DEL CALOR

En esta práctica trataremos algunos aspectos relacionados con problemas de tipo mixto para la ecuación del calor. Los resultados teóricos que se mencionan se pueden ver en los apuntes de clase (o bien en el libro: [CA], A. Cañada, Series de Fourier y aplicaciones, un tratado elemental con notas históricas y ejercicios resueltos, editorial Pirámide, Madrid, 2002, Capítulo III).

Primer problema de tipo mixto

\(El\ primer\ problema\ de\ tipo\ mixto\ responde\ al\ planteamiento\ siguiente\ \((\([CA]\), página\ 203)\)\):
(Subscript[u, t])= (Subscript[u, xx]), 0 ≤ x ≤ π, t>0   (ecuación del calor)
        u (0, t) = 0 = 
            u (π, t),    t ≥ 
          0   (condiciones de contorno)          (1)
        u (x, 0) =  f (x), 
        0 ≤ x ≤ π  (temperatura inicial)

Comenzamos con una condición inicial sencilla (función lineal a trozos, que es continua en [0,π] pero no derivable en el punto x = π/2 )

Clear["Global`*"]

f[x_] := 
      x /; 0 ≤ x < Pi/2 
f[x_] := Pi - x /; Pi/2 ≤ x < Pi

Plot[
      f[x], {x, 0, 
        Pi}, 
PlotStyle -> {{Thickness[
              0.015]}}]

Según lo demostrado en clase ([CA], página 213), el problema (1) tiene una única solución (¿recuerdas el concepto de solución?). Para calcularla, definamos los coeficientes de Fourier de la función f respecto de la base usual de senos, en el intervalo  (0,π) (¿Por qué usamos esta base y no otra?)

a[n_]  =  (2/Pi) (Integrate[x*Sin[n*x], {x, 0, Pi/2}] + 
            Integrate[(Pi - x)*Sin[n*x], {x, Pi/2, Pi}])

Entonces, según el teorema de existencia y unicidad demostrado en clase, la suma parcial n-ésima de la serie que define la única solución de (1) viene dada por

u[x_, t_, n_] = 
      Sum[ a[k] Sin[k* x] Exp[-t (k)^2], {k, 1, n}]

Nuestro objetivo inmediato es visualizar algunas propiedades de la solución tales como: 
- principio del máximo-mínimo,  
- regularidad de la misma cuando el tiempo es positivo (aunque en el tiempo inicial la temperatura no sea derivable)   
-  propiedad asintótica de la solución cuando el tiempo diverge a +∞ (efectivamente la solución tiende a cero). 

Para ello, observemos  que la expresión anterior tiene tres variables: x, t y n. Para poder realizar gráficas adecuadas para nuestros propósitos, hemos de quedarnos con una variable. Fijemos n = 10 (con lo que no estamos trabajando con la verdadera solución, sino con una aproximación suya: la suma parcial de orden 10). 
Visualicemos el principio del máximo mínimo, la regularidad y el comportamiento asintótico respecto del tiempo, tomando, por ejemplo t = 0 (temperatura inicial), t =0.25, t=0.50 y t=1. Primero en versión blanco y negro y luego en versión coloreada.

Plot[{f[x], u[x, 0.25, 10], u[x, 0.50, 10], u[x, 1, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 1.75}}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.001]}, {Thickness[0.005]}, {Thickness[
              0.010]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{f[x], u[x, 0.25, 10], u[x, 0.50, 10], u[x, 1, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 1.75}}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
          RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Incluso podemos hacer una animación. Cuando terminen de elaborarse las gráficas, haz  doble click en la última.

For[t = 0, t ≤ 2, t = t + 0.25, 
      Plot[{u[x, t, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 1.75}}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]]

Segundo problema de tipo mixto.

Ahora vamos a tratar con el segundo problema de tipo mixto, que responde al planteamiento siguiente ([CA], página 235):

(Subscript[v, t]) =  (Subscript[v, xx]), 0 ≤ x ≤ π,  
      t > 0   (ecuación del calor)
(Subscript[v, x]) (0, 
            t) = 0 = (Subscript[v, x]) (π, t),    t ≥ 
        0   (condiciones de contorno)     (2)
v (x, 0)=g(x),0≤x≤π  (temperatura inicial)

Tomemos como función inicial una recta

g[x_] := 3  x + 1

Según lo demostrado en clase ([CA], página 242), el problema anterior tiene una única solución (nuevamente has de recordar el concepto de solución de (2)) . Para calcularla, definamos los coeficientes de Fourier de la función g respecto de la base usual de cosenos, en el intervalo  (0,π) (¿Por qué usamos ahora esta base ?)

b[0  _]  =  (2/Pi) (Integrate[g[x], {x, 0, Pi}])

b[n_]  =  (2/Pi) (Integrate[
            g[x]*Cos[n*x], {x, 0, Pi}])

Entonces, según el teorema de existencia y unicidad demostrado en clase, la suma parcial n-ésima de la serie que define la única solución viene dada por

v[x_, t_, n_] = 
      b[0]/2 + Sum[
          b[k] Cos[k* x] Exp[-t (k)^2], {k, 1, n}]

Igual que antes, visualicemos la regularidad y el comportamiento asintótico respecto del tiempo,tomando,por ejemplo t=0 (temperatura inicial), t=0.25, t=0.50 y  t=1. Primero en versión blanco y negro y luego en versión coloreada.

Plot[{g[x], v[x, 0.25, 10], v[x, 0.50, 10], v[x, 1, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.001]}, {Thickness[0.005]}, {Thickness[
              0.010]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{g[x], v[x, 0.25, 10], v[x, 0.50, 10], v[x, 2, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
          RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Parece que algunas propiedades son las mismas que para el problema (1) (¿cuáles?).  Otras en cambio parece que no  (¿se puede aplicar el principio del máximo-mínimo?,¿ cómo es ahora el comportamiento asintótico de la solución?). Consulta estas propiedades en el capítulo III de [CA].

For[t = 0, t ≤ 2, t = t + 0.25, 
      Plot[{v[x, t, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 10}}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]]

¿A qué constante convergen las gráficas cuando el tiempo diverge a +∞ ?.

Prueba ahora con el problema (2), pero con la misma temperatura inicial que para el problema de tipo mixto (1), y observa las diferencias fundamentales.

h[x_] := 
      x /; 0 ≤ x < Pi/2 
h[x_] := Pi - x /; Pi/2 ≤ x < Pi

c[0  _]  =  (2/Pi) (Integrate[x, {x, 0, Pi/2}] + 
            Integrate[(Pi - x), {x, Pi/2, Pi}])

c[n_]  =  (2/Pi) (Integrate[x*Cos[n*x], {x, 0, Pi/2}] + 
            Integrate[(Pi - x)*Cos[n*x], {x, Pi/2, Pi}])

w[x_, t_, n_] = (c[0]/2)  +  
        Sum[c[k] Cos[k* x] Exp[-t (k)^2], {k, 1, n}]

Plot[{h[x], w[x, 0.25, 10], w[x, 0.50, 10], w[x, 1, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.001]}, {Thickness[0.005]}, {Thickness[
              0.010]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{h[x], w[x, 0.25, 10], w[x, 0.50, 10], w[x, 2, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
          RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

For[t = 0, t ≤ 2, t = t + 0.25, 
      Plot[{w[x, t, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 2}}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]]

Extrae tus propias conclusiones, poniendo de manifiesto las principales diferencias entre el comportamiento de las soluciones de los problemas (1) y (2).

Otros problemas y tareas adicionales

Hasta ahora nos hemos limitado a visualizar resultados teóricos demostrados en clase. A continuación voy a proponerte un problema de tipo mixto que no satisface las hipótesis que hemos impuesto en clase. No obstante, desde el punto de vista físico el problema tiene un planteamiento muy natural: es en realidad el problema de tipo mixto (1), para el caso en que la temperatura inicial es una constante positiva. Más concretamente

 (Subscript[u, t]) =  (Subscript[u, xx]),0 ≤ x ≤ π, t>0 (ecuación del calor)
 u (0, t) = 0 = u (π, t),    t > 
            0 (condiciones de contorno)          (3)
 u (x, 0) = k (x)  =  C, 
          0 ≤ x ≤ π  (temperatura inicial)
 
 Observa que lo que tenemos es una barra delgada de longitud π, aislada lateralmente, siendo la temperatura inicial una constante positiva C y tal que para cualquier tiempo positivo los extremos de la barra se mantienen a cero grados centígrados. 
 ¿Cuál es la hipótesis que hemos impuesto en clase para problemas de tipo mixto (1) que no satisface la temperatura inicial?. Efectivamente, la función k no satisface k(0) = k(π) = 0. De hecho, si T es cualquier número real positivo, (3) no puede tener ninguna solución z que sea continua en [0,π]x[0,T]. Entonces, si queremos tener un teorema de existencia y unicidad de soluciones de (3), hemos de modificar el concepto de solución. Puede verse que el concepto de solución apropiado es en este caso el siguiente: z es, para tiempos positivos,  una función de clase C\(\^1\)respecto de t, de clase C\(\^2\) respecto de x y z es continua en  [0,π]x[0,T] salvo en los puntos (0,0) y (π ,0). Con estas premisas, puede demostrarse que (3) tiene, a lo sumo, una solución acotada que viene dada por la fórmula (∑_(k = 1)^∞) a[k] Sin[
            k x] (e^(-t (k^2))), donde a[k] son los coeficientes de Fourier de la función constante C respecto de la base usual de senos, en el intervalo  (0,π) (Por qué la base de senos otra vez?). Para ver la demostración de este resultado y otros similares puede consultarse la referencia:
[AN]:  A.N. Tijonov y A. A. Samarsky: Ecuaciones de la Física Matemática, Editorial Mir, Moscú, 1980, capítulo III, párrafo 2. 
 Intentemos a continuación visualizar algunas propiedades de este problema para C = 1/2, que pueden confirmarse teóricamente (véase [TISA]).

j[x_] := (1 /
            2)  /; 0≤x<Pi

d[n_]  =  (2/
            Pi) (Integrate[(1/2)*Sin[n*x], {x, 0, Pi}])

z[x_, t_, n_] = 
      Sum[d[k] Sin[k* x] Exp[-t (k)^2], {k, 1, n}]

Plot[{j[x], z[x, 0.15, 10], z[x, 0.25, 10], z[x, 0.50, 10], 
        z[x, 1, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 0.6}}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.001]}, {Thickness[0.003]}, {Thickness[
              0.005]}, {Thickness[0.010]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{j[x], z[x, 0.15, 10], z[x, 0.25, 10], z[x, 0.50, 10], 
        z[x, 1, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 0.6}}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[0, 1, 1], 
          RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], 
          RGBColor[0, 0, 1]}]

For[t = 0.15, t ≤ 2, t = t + 0.25, 
      Plot[{j[x], z[x, t, 10]}, {x, 0, Pi}, 
        PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 0.6}}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[1, 0, 0]}]]

Una última pregunta: ¿crees que si hubiésemos considerado esta temperatura inicial C para el problema de tipo mixto (2), habría que haber modificado el concepto de solución dado en clase?. Si quieres, puedes experimentar, realizando el proceso anterior para el problema (2). Te darás cuenta de que has perdido el tiempo (¿por qué?).