Convergencia de Series de Fourier I
          (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibss. Sumas de Fejér)
         
Objetivo de esta práctica: tendremos oportunidad de visualizar algunos resultados teóricos demostrados en clase relacionados con el criterio de Dini. Además se pretende que el alumno, a la vista de las gráficas producidas,  obtenga conclusiones sobre aspectos en los que quizás no había caído previamente, e incluso que intuya alguna propiedad no expuesta en clase (fenómeno de Gibss y sumas de Fejér). Esto debe llevarle después a confirmar (o no) de manera rigurosa dichas propiedades. En resumen: el objetivo es doble. Por una parte comprobar (¿comprobar ?) resultados demostrados teóricamente. Por otra, usar el programa Mathematica como "laboratorio" donde podamos experimentar nuevas propiedades (¿nuevas propiedades?). Para los resultados teóricos que se mencionan puedes consultar  A. Cañada: Series de Fourier y Aplicaciones, Pirámide, Madrid, 2002 (capítulo II).

Comenzamos con la definición de la función dad en el intervalo [-π,π]. Es muy sencilla, pero suficiente para nuestros primeros propósitos.

Clear["Global`**"]
f[x_] := 
      0 /; -Pi≤x<0 
f[x_] := 1 /; 0 ≤ x < Pi

A continuación podemos decirle a Mathematica que nos proporcione la gráfica de la función, dintinguiéndola de los ejes de coordenadas.

Plot[f[x], {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.015]}}]

(Bueno, en realidad sobra el segmento vertical, pero no sé como suprimirlo). 
Seguidamente definimos los coeficientes de Fourier de la función dada (respecto de la base trigonométrica usual en el intervalo [-π,π]).

a0 = (1/Pi) (Integrate[0, {x, -Pi, 0}] + 
            Integrate[1, {x, 0, Pi}])
a[n_]  =  (1/Pi) (Integrate[0*Cos[n*x], {x, -Pi, 0}] + 
            Integrate[1*Cos[n*x], {x, 0, Pi}])
b[
        n_]  =  (1/Pi) (Integrate[0*Sin[n*x], {x, -Pi, 0}] + 
            Integrate[1*Sin[n*x], {x, 0, Pi}])

Ahora definimos las sumas parciales de la correspondiente serie de Fourier.

foursum[x_, 0  _]  =  (a0/2)
foursum[x_, n_]  =  (a0/2)  +  
        Sum[a[k] Cos[k*x]  +  b[k] Sin[k*x], {k, 1, 
            n}]

Salen cosas raras (bueno al menos a mí me parecen raras). No te preocupes y sigue adelante (muchas veces no hay que hacer caso del programa Mathematica).
Llegados a este punto, podemos visualizar y comparar las gráficas de la función y algunas sumas parciales de su serie de Fourier.

Plot[{f[x], foursum[x, 1]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.002]}, {Thickness[
              0.015]}}]

Plot[{f[x], foursum[x, 3]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.002]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{f[x], foursum[x, 10]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.002]}, {Thickness[0.015]}}]

Si lo quieres visualizar más claro, quizás un poco de color venga bien.

Plot[{f[x], foursum[x, 1]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Plot[{f[x], foursum[x, 3]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Plot[{f[x], foursum[x, 10]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Incluso podemos conseguir fácilmente una animación (una vez que pulses la tecla "Intro", espera un poco mientras  se elaboran todas las gráficas. Después haz doble click en la última y verás lo que sucede).

For[n = 1, n ≤ 10, n = n + 1, 
      Plot[{f[x], foursum[x, n]}, {x, -Pi, Pi}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]]

Ahora viene la hora de hacer algunas reflexiones: 
1) Esto parece haber sido  suficiente para comprobar (con esta función)  el criterio de Dini. ¿En qué puntos del intervalo [-π,π] puedes aplicar dicho criterio?. 
Efectivamente, en los intervalos (-π,0) y (0,π). Bien, esto es sencillo, pero observa las gráficas algo más detenidamente. La función f tiene una discontinuidad de salto  en x= 0. Sin embargo, cualquier suma parcial de su serie de Fourier es continua en toda la recta real, en particular en el intervalo [-π,π]. ¿Cómo hacer compatible todo esto?. Observa, observa y observa...
2) ¿Convergen las sumas parciales de la serie de Fourier en x=0? ¿Será esto un fenómeno general en discontinuidades de salto? Puede consultarse el libro: T.M. Apostol. Análisis Matemático. Reverté, Barcelona, 1960. 
3) ¿Has observado que los valores de las gráficas de las sumas parciales de la serie de Fourier exceden a los de la función dada cerca del origen ?.En realidad, parece que dichas sumas parciales "convergen a un segmento vertical" cuya longitud es estrictamente mayor que el valor del salto de la función. ¿Esto será así siempre?. Lo único que podemos hacer por ahora es probar con otras funciones similares. Si has llegado a la conclusión de que siempre ocurre, procura documentarte bibliográficamente y, quizás, obtener algún resultado teórico (sugerencia: fenómeno de Gibss).  Puede consultarse la siguiente referencia: sección 17 del libro: T.W. Körner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1988. También puede ser muy  útil el trabajo de Roberto Rodríguez del Río y Enrique Zuazua, que tiene la siguiente la dirección: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/cubo.pdf
4? ¿Qué ocurre en los extremos del intervalo [-π,π]?. Para hacernos una idea debemos extender la función f de manera 2π-periódica y trabajar con intervalos más amplios. Esto podemos hacerlo de la forma siguiente:

L  =  Pi
g[x_] := f[Mod[x, 2*L, -L]]

Ahora podemos pedirle al programa Mathematica la gráfica de la función 2π-periódica que hemos definido. Por ejemplo, en el intervalo (-10,10).

Plot[g[x], {x, -10, 10}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.015]}}]

Y compararla con algunas sumas parciales de su serie de Fourier.

Plot[{g[x], foursum[x, 1]}, {x, -10, 10}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.002]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{g[x], foursum[x, 3]}, {x, -10, 10}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.002]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{g[x], foursum[x, 10]}, {x, -10, 10}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.002]}, {Thickness[0.015]}}]

Como antes, podemos poner un poco de color a las mismas.

Plot[{g[x], foursum[x, 10]}, {x, -10, 10}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Ya no te cabe ninguna duda, ¿verdad?. Bueno, si eres un auténtico matemático no saldrás de duda hasta que tengas una demostración (consulta el libro de Körner, mencionado con anterioridad).

Otra forma diferente de aproximar la función dada f, usando los términos de su serie de Fourier, fue introducida por Fejér. En este caso se consideran las medias aritméticas de las sumas parciales de la serie de Fourier de f. Practiquemos un poco, definiendo en primer lugar las medias aritméticas citadas.

mediafoursum[x_, m_]  =  (1/(m + 1)) 
        Sum[foursum[x, k], {k, 0, m}]

Parece que Mathematica no lo ha entendido bien. O Quizás sí. Sigue adelante. 
Obtengamos las gráficas de algunas de ellas, comparándolas con la función dada.

Plot[{f[x], mediafoursum[x, 1]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.002]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{f[x], mediafoursum[x, 3]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.002]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{f[x], mediafoursum[x, 10]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.002]}, {Thickness[0.015]}}]

Quizás necesitemos otra vez el color.

Plot[{f[x], mediafoursum[x, 1]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Plot[{f[x], mediafoursum[x, 3]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Plot[{f[x], mediafoursum[x, 10]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Da la impresión de que las "sumas de Fejér" convergen de manera "más uniforme" que las sumas parciales de la serie de Fourier, en cualquier intervalo cerrado contenido en  (-π,0) o bien en (0,π).
 Comparemos las tres gráficas, para estar más seguros.

Plot[{f[x], foursum[x, 10], mediafoursum[x, 10]}, {x, -Pi, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], 
          RGBColor[0, 0, 1]}]

Parece que es concluyente. No obstante, para dormir tranquilo,  debes tener siempre una demostración rigurosa. Puede consultarse el Teorema 15-21, página 457 del libro: T.M. Apostol. Análisis Matemático. Reverté, Barcelona, 1960. 

Ahora debes probar los diferentes aspectos tratados en esta práctica con otras funciones. Un buen ejemplo puede ser la función valor absoluto de x (en [- π, π]; después se extiende de manera 2π-periódica a toda la recta real). Observarás que en este caso no hay fenómeno de Gibss. Sin embargo sí que se aprecia un  aspecto nuevo: parece ser que la convergencia de las sumas parciales de la serie de Fourier es más rápida en los puntos donde la función es derivable. ¿Será esto así en general? ¿Hay relación entre la regularidad de una función y la velocidad de convergencia de su serie de Fourier?  Prueba con la función  f(x) = x^2. (Si dudas es que has olvidado demasiado pronto los resultados de clase).