Secciones Cónicas

Realizado por

Pedro González Rodelas
15 de Mayo, 2006
Última revisión: 14 de Mayo de 2007

A partir de un notebook de

Eric W. Weisstein (August 3, 2004)
Downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/PlaneGeometry/ConicSection.nb.
For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html.

y usando la siguiente bibliografía

"Álgebra Lineal y Geometría Analítica" Tomo 2, de  Joseph Heinhold y Bruno Riedmüller. Edit. Reverté, 1981.

Inicialización

<< Graphics`ImplicitPlot`

Expresión general

conica[{x_, y_}, {p_, e_}] := (1 - e^2) x^2 - 2  p x + 
        y^2

Tipos de cónicas

Punto doble

El origen

ec1 = Simplify[conica[{x, y}, {0, 0}]] == 0

Cualquier punto del plano de coordenadas (x0, y0)

ec1 = Simplify[conica[{x - x0, y - y0}, {0, 0}]] == 0

Solve[ec1, x, y]

Dos rectas que se cortan

En el origen

ec2 = Simplify[conica[{x, y}, {0, (Sqrt[2])}]] == 0

Solve[ec2, x, y]

ImplicitPlot[ec2, {x, -5, 5}];

En cualquier punto del plano de coordenadas (x0, y0)

ec2 = 
      Simplify[conica[{x - x0, y - y0}, {0, (Sqrt[2])}]] == 0

Solve[ec2, x, y]

ec2 = ec2 /. {x0 -> 1, y0 -> 2}

ImplicitPlot[ec2, {x, -5, 5}];

Recta doble

Eje Ox

ec3 = Simplify[conica[{x, y}, {0, 1}]] == 0

Solve[ec3, y]

Cualquier otra recta paralela al eje Ox

ec3 = Simplify[conica[{x - x0, y - y0}, {0, 1}]] == 0

Solve[ec3, y]

Círcunferencia

Centrada en el origen (0, 0) y de radio r

Simplify[conica[{x, y}, {0, 0}]] == (r^2)

Centrada en (x0, 0)

eccircunf = 
      Simplify[conica[{x - x0, y}, {0, 0}]] == (r^2)

ImplicitPlot[
        eccircunf /.  {x0 -> 2, r -> 1}, {x, -5, 
          5}];

ImplicitPlot[
        eccircunf /.  {x0 -> 2, r -> 2}, {x, -5, 
          5}];

Centrada en (x0, y0)

eccircunf = 
      Simplify[conica[{x - x0, y - y0}, {0, 0}]] == (r^2)

ImplicitPlot[
        eccircunf /.  {x0 -> 2, y0 -> -1, 
            r -> 2}, {x, -5, 5}];

Elipse

Una elipse puede ser definida como el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos  (también llamados focos)  (Subscript[F, 1]) y  (Subscript[F, 2   ])(con   (Subscript[F, 1])≠ (Subscript[F, 2 ])) es una constante  2a  (se supone en valor absoluto, con a>0). Así pues, si se supone que en un determinado sistema de coordenadas, dichos puntos tienen de coordenadas (-d,0) y  (d,0)  respectivamente (con 0<d≤a).

Así pues, bastará con ir elevando al cuadrado y simplificando en la siguiente ecuación que expresa dicha relación

		(Sqrt[(((x - d))^2) + (y^2)]) + (Sqrt[(((x + d))^2) + (y^2)]) = 2  a
		
		(Sqrt[(((x - d))^2) + (y^2)]) = 2a  - (Sqrt[(((x + d))^2) + (y^2)])
		
	(((x - d))^2) + (y^2) = 4(a^2)  - 4  a (Sqrt[(((x + d))^2) + (y^2)]) + (((x + d))^2) + (y^2)
	
		-2 d x = 4(a^2)  - 4  a (Sqrt[(((x + d))^2) + (y^2)]) + 2  d x
		
		a (Sqrt[(((x + d))^2) + (y^2)]) = (a^(2 ))+ d x
			
		(a^2) ((((x + d))^2) + (y^2) )= (a^2)  (a^2) + 2 (a^(2 ))d x + (d^2) (x^2)
			
		(a^2) ((x^2) + 2  d x + (d^2) + (y^2) )= (a^2)  (a^2) + 2 (a^(2 ))d x + (d^2) (x^2)
			
		((a^2)  - (d^2)) (x^2) - (a^2) ((a^2) - (d^2)) + (a^2) 
          (y^(2 ))= 0 
		
		(1  - ((((d/a)))^2)) (x^2) + (y^(2 ))= ((a^2) - (d^2)) 
	
por lo que bastará con tomar en nuestra ecuación general de las cónicas:  e=(d/a),  p=0  e igualarla a  ((a^2) - (d^2)) , para obtener la ecuación de la elipse que queremos obtener. Además, si seguimos simplificando podemos verificar que de hecho se trata de una elipse sobre los ejes coordenados de semiejes a  y  (Sqrt[(a^2) - (d^2)]) (recuérdese que se había impuesto que 0<d≤a).

			 ((x^2)/((((a^2) - (d^2))/((1  - ((((d/a)))^2)))))) + 
        ((y^(2 ))/((a^2) - (d^2)))= 1 
			
			 ((x^2)/(a^2)) + ((y^(2 ))/((a^2) - (d^2)))= 1

a = 4;  d = 3;
ec4 = 
      Simplify[conica[{x, y}, {0, (d/a)}]] == (a^2) - (d^2)

ecelipse = 
      Expand[(1/((a^2) - (d^2))) 
            conica[{x, y}, {0, 
                (d/a)}]] == (((a^2) - (d^2))/((a^2) - (d^2)))

Solve[ecelipse, y]

ImplicitPlot[ecelipse, {x, -5, 5}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Si ahora lo que queremos es aplicarle un giro de ángulo θ seguido de una traslación dada por el vector v=((Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2])) entonces bastará con realizar previamente la correspondiente transformación.

Clear[θ]
Mg=(({{Cos[θ], -Sin[θ]}, {Sin[θ], Cos[θ]}}));

Inverse[Mg] // Simplify

θ = -(π/3);  v = {10, 2}; 
ecelipseb = 
      Expand[(1/((a^2) - (d^2))) 
            conica[Mg . ({x, y} - v), {0, 
                (d/a)}]] == (((a^2) - (d^2))/((a^2) - (d^2)))
ImplicitPlot[ecelipseb, {x, -5, 50}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Hipérbola

De una forma totalmente equivalente a la definición de la elipse, una hipérbola puede ser definida como el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos  (también llamados focos)  (Subscript[F, 1]) y  (Subscript[F, 2   ])(con   (Subscript[F, 1])≠ (Subscript[F, 2 ])) es una constante  2a  (se supone en valor absoluto, con a>0). Así pues, si se supone que en un determinado sistema de coordenadas, dichos puntos tienen de coordenadas (-d,0) y  (d,0)  respectivamente (con 0<a≤d).

Así pues, bastará con ir elevando al cuadrado y simplificando en la siguiente ecuación que expresa dicha relación, exactamente igual que hacíamos en el caso de la elipse

		\(\@\(\((x - d)\)\^2 + y\^2\) - \@\(\((x + d)\)\^2 + y\^2\) = \(±2\) a\)
		
		(Sqrt[(((x - d))^2) + (y^2)]) = ±2a  + (Sqrt[(((x + d))^2) + (y^2)])
		
		((a^2)  - (d^2)) (x^2) - (a^2) ((a^2) - (d^2)) + (a^2) 
          (y^(2 ))= 0 
		
		(1  - ((((d/a)))^2)) (x^2) + (y^(2 ))= ((a^2) - (d^2)) 
		
por lo que bastará con tomar en nuestra ecuación general de las cónicas:  e=(d/a),  p=0  e igualarla a  ((a^2) - (d^2)) , para obtener la ecuación de la hipérbola que queremos obtener (sólo que ahora deberá ser  0<a≤d)
		
Además, si seguimos simplificando podemos verificar que de hecho se trata de una hipérbola  (recuérdese que ahora  0<a≤d).

			 ((x^2)/((((a^2) - (d^2))/((1  - ((((d/a)))^2)))))) + 
        ((y^(2 ))/((a^2) - (d^2)))= 1 
			
			 ((x^2)/(a^2)) - ((y^(2 ))/((d^2) - (a^2)))= 1

a = 2;  d = 3;  e = (d/a);
conica[{x, y}, {0, e}] == (a^2) - (d^2)

echiperbola = 
      Expand[(1/((a^2) - (d^2))) 
            conica[{x, y}, {0, 
                e}]] == (((a^2) - (d^2))/((a^2) - (d^2)))

ImplicitPlot[echiperbola, {x, -6, 6}];

Si ahora lo que queremos es aplicarle un giro de ángulo θ seguido de una traslación dada por el vector v=((Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2])) entonces bastará con realizar previamente la correspondiente transformación.

Clear[θ]
Mg=(({{Cos[θ], -Sin[θ]}, {Sin[θ], Cos[θ]}}));

Inverse[Mg] // Simplify

θ = -(π/3);  v = {10, 2}; 
echiperbolab = 
      Expand[(1/((a^2) - (d^2))) 
            conica[Mg . ({x, y} - v), {0, 
                (d/a)}]] == (((a^2) - (d^2))/((a^2) - (d^2)))
ImplicitPlot[echiperbolab, {x, -5, 50}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Parábola

Una parábola también puede definirse geométricamente, en este caso como el conjunto de todos los puntos que equidistan de una recta fija R y otro punto fijo F∉R. Así pues, si consideramos un sistema de coordenadas en el plano respecto del cual la recta R tenga por ecuación  x= - (1/2) p  (con p>0)  y el punto fijo F≡((1/2) p ,  0)  se tendrá que satisfacer la siguiente relación 

		(Sqrt[(((x - (1/2) p))^2) + (y^2)]) =  
        x + (1/2) p
		
		(((x - (1/2) p))^2) + (y^2) = (x^2) + x p + (1/4) (p^2)	
		
		(x^2) - x p +(1/4) (p^2) +(y^2)= (x^2) + x p + (1/4) (p^2)
		
			(y^2)-2x p= 0

parabola = Simplify[conica[{x, y}, {p, 1}]]

parabola = 
        ImplicitPlot[
          conica[{x, y}, {p, 1}] == 0 /. p -> 1, {x, -5, 
            5}];

p = 1;
\(\(\(recta = 
        Graphics[
          Line[{{\(-\(p\/2\)\), \(-5\) p}, {\(-\(p\/2\)\), 5  p}}]];\)\(
\)
    \)\)
punto = Graphics[{PointSize[0.04], Point[{(p/2), 0}]}];

Show[parabola, recta, punto];

Si ahora lo que queremos es aplicarle un giro de ángulo θ seguido de una traslación dada por el vector v=((Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2])) entonces bastará con realizar previamente la correspondiente transformación.

Clear[θ]
Mg=(({{Cos[θ], -Sin[θ]}, {Sin[θ], Cos[θ]}}));

Inverse[Mg] // Simplify

θ = -(π/3);  
    v = {1, 2}; 
parabolab = 
      Simplify[conica[Mg . ({x, y} - v), {p, 1}] == 0]
ImplicitPlot[parabolab, {x, -5, 50}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Ejercicios

1.- Practica con los ejemplos propuestos e intenta calcular y representar todas aquellas cónicas que se te ocurran, o que hayas visto en los ejemplos vistos en teoría.