/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/ /* [ Created with wxMaxima version 0.8.7 ] */ /* [wxMaxima: title start ] Práctica 9. Extremos de funciones de varias variables. [wxMaxima: title end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Derivadas parciales de orden superior. [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para hallar derivadas de orden superior de una función de varias variables usamos el comando diff con la siguiente sintaxis diff(función, x1, n1, x2, n2,... xm, nm) que deriva la función nm veces respecto a la variable xm, y continúa derivando hasta derivar n2 veces respecto a x2 y n1 veces respecto a x1. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para ver unos ejemplos, definimos una función de dos variables. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x,y):=x^2+7*x*y^2; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Hallamos la derivada segunda de f respecto de x (dos veces). [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(f(x,y),x,2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Hallamos la derivada segunda de f, respecto de x y de y (deriva una vez respecto de y, y una vez respecto de x). [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(f(x,y),x,1,y,1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Hallamos la derivada segunda de f respecto de y (dos veces). [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(f(x,y),y,2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Por último vemos una derivada de orden 3, derivamos f respecto de y dos veces, y respecto de x una vez. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(f(x,y),x,1,y,2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle la derivada quinta de g(x,y)=e^(7*x)*e^y, respecto de x dos veces y respecto de y tres veces. (Sol. 49*%e^(y+7*x) .) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Matriz hessiana y hessiano. [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Maxima cuenta con un comando que permite hallar la matriz hessiana de una función. La sintaxis es hessian( función, variables ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x,y):=x^2+7*x*y^2; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ hessian(f(x,y),[x,y]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle la matriz hessiana de la función g(x,y)=sen(x*y)+y. (Sol. matrix([-y^2*sin(x*y),cos(x*y)-x*y*sin(x*y)],[cos(x*y)-x*y*sin(x*y),-x^2*sin(x*y)]) .) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como en otras ocasiones, para evaluar la matriz hessiana en uno o varios puntos, es conveniente usar el comando define. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ define(h(x,y),hessian(f(x,y),[x,y])); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h(0,1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para hallar el hessiano de una función en un punto, basta hallar el determinante de la matriz hessiana. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ determinant( h(0,1) ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Extremos relativos. [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] En esta sección mostramos como hallar los extremos relativos de una función de dos variables. Nos planteamos hallar los extremos relativos de la función f(x,y)=x^2 + y^2-2*log(x)-18*log(y) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] En primer lugar definimos la función f [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x,y):=x^2 + y^2-2*log(x)-18*log(y); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] En este caso, la función está definida para valores x>0 y valores y>0. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para poder determinar los puntos críticos necesitamos el gradiente de la función f. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ jacobian([f(x,y)],[x,y]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Vemos que la parcial de f con respecto a x es 2*x-2/x y que la derivada de f con respecto a y es 2*y-18/y. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Los puntos críticos serán aquellos que hagan que el gradiente valga (0,0), esto es, que las dos parciales valgan cero. Para resolver ese sistema de ecuaciones usamos el comando algsys. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ algsys([2*x-2/x=0,2*y-18/y=0],[x,y]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Observamos de la salida que tenemos 4 puntos críticos, que son [x=1,y=-3] [x=-1,y=-3] [x=1,y=3] [x=-1,y=3] . [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] De todos estos puntos, sólo el [x=1,y=3] está en el dominio de la función, es el único punto crítico de f. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para determinar si el punto crítico hallado es extremo o no, debemos estudiar el hessiano de la función f. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ define(h(x,y),hessian(f(x,y),[x,y])); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Evaluamos el hessiano en el punto crítico. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ h1:h(1,3); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ determinant(h1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como el determinante de la matriz hessiana es 16>0, deducimos que hay extremo relativo en ese punto. Y comoademás el primer elemento de la matriz hessiana es 4>0, deducimos que en x=1, y=3 hay un mínimo relativo. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Estudie los extremos relativos de la función f(x,y)=e^(x-y)(x^2-2*y^2) . [wxMaxima: comment end ] */ /* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */ "Created with wxMaxima"$