Práctica 9. Extremos de funciones de varias variables.

1 Derivadas parciales de orden superior.

Para hallar derivadas de orden superior de una función de varias variables usamos el comando
diff con la siguiente sintaxis
diff(función, x1, n1, x2, n2,... xm, nm)
que deriva la función nm veces respecto a la variable xm, y continúa derivando hasta derivar
n2 veces respecto a x2 y n1 veces respecto a x1.

Para ver unos ejemplos, definimos una función de dos variables.

(%i4) f(x,y):=x^2+7*x*y^2;

Result

Hallamos la derivada segunda de f respecto de x (dos veces).

(%i5) diff(f(x,y),x,2);

Result

Hallamos la derivada segunda de f, respecto de x y de y (deriva una vez respecto de y, y una
vez respecto de x).

(%i6) diff(f(x,y),x,1,y,1);

Result

Hallamos la derivada segunda de f respecto de y (dos veces).

(%i7) diff(f(x,y),y,2);

Result

Por último vemos una derivada de orden 3, derivamos f respecto de y dos veces, y respecto de x
una vez.

(%i8) diff(f(x,y),x,1,y,2);

Result

Ej. Halle la derivada quinta de g(x,y)=e^(7*x)*e^y, respecto de x dos veces y respecto de y tres
veces.
(Sol. 49*%e^(y+7*x) .)

2 Matriz hessiana y hessiano.

Maxima cuenta con un comando que permite hallar la matriz hessiana de una función.
La sintaxis es
hessian( función, variables )

(%i9) f(x,y):=x^2+7*x*y^2;

Result

(%i10) hessian(f(x,y),[x,y]);

Result

Ej. Halle la matriz hessiana de la función g(x,y)=sen(x*y)+y.
(Sol. matrix([-y^2*sin(x*y),cos(x*y)-x*y*sin(x*y)],[cos(x*y)-x*y*sin(x*y),-x^2*sin(x*y)]) .)

Como en otras ocasiones, para evaluar la matriz hessiana en uno o varios puntos, es conveniente
usar el comando define.

(%i11) define(h(x,y),hessian(f(x,y),[x,y]));

Result

(%i12) h(0,1);

Result

Para hallar el hessiano de una función en un punto, basta hallar el determinante de la matriz
hessiana.

(%i13) determinant( h(0,1) );

Result

3 Extremos relativos.

En esta sección mostramos como hallar los extremos relativos de una función de dos variables.

Nos planteamos hallar los extremos relativos de la función
f(x,y)=x^2 + y^2-2*log(x)-18*log(y)

En primer lugar definimos la función f

(%i14) f(x,y):=x^2 + y^2-2*log(x)-18*log(y);

Result

En este caso, la función está definida para valores x>0 y valores y>0.

Para poder determinar los puntos críticos necesitamos el gradiente de la función f.

(%i15) jacobian([f(x,y)],[x,y]);

Result

Vemos que la parcial de f con respecto a x es 2*x-2/x y que la derivada de f con respecto a y
es 2*y-18/y.

Los puntos críticos serán aquellos que hagan que el gradiente valga (0,0), esto es, que las dos
parciales valgan cero.
Para resolver ese sistema de ecuaciones usamos el comando algsys.

(%i16) algsys([2*x-2/x=0,2*y-18/y=0],[x,y]);

Result

Observamos de la salida que tenemos 4 puntos críticos, que son
[x=1,y=-3]
[x=-1,y=-3]
[x=1,y=3]
[x=-1,y=3] .

De todos estos puntos, sólo el [x=1,y=3] está en el dominio de la función, es el único punto
crítico de f.

Para determinar si el punto crítico hallado es extremo o no, debemos estudiar el hessiano de la
función f.

(%i17) define(h(x,y),hessian(f(x,y),[x,y]));

Result

Evaluamos el hessiano en el punto crítico.

(%i18) h1:h(1,3);

Result

(%i19) determinant(h1);

Result

Como el determinante de la matriz hessiana es 16>0, deducimos que hay extremo relativo en ese
punto. Y comoademás el primer elemento de la matriz hessiana es 4>0, deducimos que en x=1, y=3
hay un mínimo relativo.

Ej. Estudie los extremos relativos de la función f(x,y)=e^(x-y)(x^2-2*y^2) .

4 Multiplicadores de Lagrange

Nos planteamos hallar el máximo de la función f(x,y,z)=x*y*z restringido a las condiciones
x+y+z=5, x*y+y*z+z*x=8. (Ejercicio 2028 de 'Problemas y ejercicios de Análisis Matemático'
por Demidovich et al.)

En este ejemplo hallamos el máximo volumen de un paralelepípedo en el que la suma de las
dimensiones ancho, alto y profundidad debe ser 5 unidades, y la superficie exterior (suma de
las caras) debe ser 16.

1- Definimos la función f.

(%i20) f(x,y,z):=x*y*z;

Result

2- Definimos las funciones g1 y g2, de forma que las restricciones sean g1=0, g2=0.

(%i21) g1(x,y,z):=x+y+z-5;

Result

(%i22) g2(x,y,z):=x*y+y*z+z*x-8;

Result

3- Definimos la función lagrangiana, en este caso con dos multiplicadores de Lagrange.

(%i23) L(x,y,z,a1,a2):=f(x,y,z)-a1*g1(x,y,z)-a2*g2(x,y,z);

Result

4- Calculamos las derivadas de la función lagrangiana.

(%i24) jacobian([L(x,y,z,a1,a2)],[x,y,z,a1,a2]);

Result

5- Hallamos los puntos críticos de la función lagrangiana (copiamos y pegamos las derivadas)

(%i25) algsys( [-a2*(z+y)+y*z-a1,-a2*(z+x)+x*z-a1,-a2*(y+x)+x*y-a1,-z-y-x+5,-y*z-x*z-x*y+8] ,[x,y,z,a1,a2]);

Result

6- (El gradiente de f no se anula en la restricción)

Evaluamos en los posibles extremos absolutos.

(%i26) f(1,2,2);

Result

(%i27) f(7/3, 4/3, 4/3);

Result

(%i28) f(2,1,2);

Result

(%i29) f(4/3, 7/3, 4/3);

Result

(%i30) f(4/3, 4/3, 7/3);

Result

(%i31) f(2, 2, 1);

Result

(%i32) float( 112/27 );

Result

Así el máximo volumen es 112/27 para lados 4/3, 4/3, 7/3 y el mínimo volumen es
4 para lados 2, 2, 1 .

5 Extremos absolutos

El teorema de Weierstrass nos asegura la existencia de máximo y mínimo absoluto de una función
continua definida en un conjunto compacto.

Estos extremos se pueden encontrar en el interior del conjunto o en su frontera. En el
siguiente ejemplo hallamos los puntos críticos en el interior usando la condición necesaria
de extremos relativos, y los posibles extremos de la frontera usando los multiplicadores
de Lagrange.

Nos planteamos hallar los extremos absolutos de la función f(x,y)=x^2-2*y^2 en el
círculo K={ (x,y) : x^2+y^2<=4 }.

En primer lugar hallaremos los puntos críticos de la función f.

Definimos la función f.

(%i33) f(x,y):=x^2-2*y^2;

Result

Hallamos sus parciales, para obtener los puntos críticos.

(%i34) jacobian([f(x,y)],[x,y]);

Result

Igualamos las parciales a cero y resolvemos el sistema, con lo que obtenemos los puntos
críticos.

(%i35) algsys([2*x=0,-4*y=0],[x,y]);

Result

El punto hallado está en el interior del dominio.

Hallaremos ahora los extremos de f condicionados a la frontera del dominio en 5 pasos.

1- La función f ya está definida.

2- Definimos la función g, que es la restricción que nos da la frontera del compacto.

(%i36) g(x,y):=x^2+y^2-4;

Result

3- Definimos la función lagrangiana.

(%i37) L(x,y,a):=f(x,y)-a*g(x,y);

Result

4- Calculamos las derivadas de la función lagrangiana.

(%i38) jacobian([L(x,y,a)],[x,y,a]);

Result

5- Hallamos los puntos críticos de la función lagrangiana.

(%i39) algsys([2*x-2*a*x=0,-2*a*y-4*y=0,-y^2-x^2+4=0],[x,y,a]);

Result

6- (El gradiente de f no se anula en la restricción)

Evaluamos en los posibles extremos absolutos.

(%i40) f(0,0);

Result

(%i41) f(-2,0);

Result

(%i42) f(2,0);

Result

(%i43) f(0,2);

Result

(%i44) f(0,-2);

Result

Concluimos que el máximo de la función es 4 y se alcanza en los puntos (2,0) y (-2,0).
El mínimo de la función es -8 y se alcanza en los puntos (0,2) y (0,-2).

Ej. Determinar el máximo y mínimo absoluto z=x^2*y en la región x^2+y^2<=1
(Demidovich, ejercicio 2031).
(Dem. máximo absoluto 2/(3*sqrt(3)), mínimo absoluto -2/(3*sqrt(3)) .)


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