Práctica 8b. Funciones de varias variables.
Veremos como hacer derivadas de funciones de varias variables mediante la definición y
mediante comandos directos. También veremos la ecuación del plano tangente y como hallar el
gradiente de una función en un punto.
1 Derivada según un vector. Derivada direccional.
La derivada de una función según un vector se define mediante un límite.
Como ejemplo, nos planteamos hallar la derivada de la función f(x,y)=x^2+2*y^3 en el punto
A=(2,3) según la dirección del vector v=(1,2), para lo cual necesitamos hallar el siguiente
límite:
| (%i8) |
f(x,y):=x^2+2*y^3; A:[2,3]; v:[1,2]; A+t*v; |
| (%i12) | limit( (f(2+1*t,2*t+3)-f(2,3))/t, t, 0); |
Ej. Halle la derivada de la función g(x,y)=x+cos(x*y) en el punto A=(pi,1) según el vector
v=(1,1). Idem según el vector unitario ( 1/sqrt(2), 1/sqrt(2) ).
(Sol. 1, 1/sqrt(2) ).
Ej. Sean f(x,y)=x^2+x*y^2, el punto A=(1,3) y el vector v=(1,-1).
Halle la derivada direccional de f en A según la dirección del vector v.
(Sol. 5/sqrt(2) )
2 Derivadas parciales.
Si en una función de dos variable hacemos las derivadas según los vectores (1,0) o (0,1) se
obtienen las derivadas parciales respecto a las variables x e y respectivamente.
Estas derivadas parciales pueden hacerse con el comando diff con la sintaxis
diff(expresión, variable).
| (%i13) | f(x,y):=x^2+x*y^7; |
| (%i14) | diff(f(x,y), x); |
| (%i15) | diff(f(x,y), y); |
Ej. Considere la función f(x,y)=x+cos(x*y) . Halle la derivada parcial de f con respecto a x.
Halle la derivada parcial de f con respecto a y.
(Sol. 1-y*sin(x*y), -x*sin(x*y) .)
Si queremos evaluar las derivadas parciales en un punto, podemos usar el comando define.
| (%i16) | define (fx(x,y), diff(f(x,y), x) ); |
| (%i17) | fx(0,1); |
| (%i18) | define (fy(x,y), diff(f(x,y), y) ); |
| (%i19) | fy(0,1); |
Ej. Considere gx y gy las parciales de la función g(x,y)=x^4+5*y^3+2*x*y . Halle gx(2,1) y
también gy(2,1).
(Sol. 34, 19).
Ej. Dadas f(x)=sin(x), g(x)=cos(x)^2 y z(x,y)=x^2*y*f(x/y)+x*y^2*g(y/x), simplifique la
expresión x*zx(x,y)+y*zy(x,y), donde zx y zy son las parciales de z.
(Sol. 3*x*y^2*cos(y/x)^2+3*x^2*sin(x/y)*y .)
3 Plano tangente.
Con las derivadas parciales podemos hallar el plano tangente a una función en un punto.
| (%i20) | f(x,y):=exp(-(x^2+y^2)); |
| (%i21) | plot3d(f(x,y), [x,-2,2], [y,-2,2]); |
Definimos las parciales de la función f.
| (%i22) | define(fx(x,y), diff(f(x,y),x) ); |
| (%i23) | define(fy(x,y), diff(f(x,y),y) ); |
Definimos el punto (a,b) donde vamos a calcular el plano tangente.
| (%i24) |
a:0.1; b:0.1; |
Ya podemos dar la expresión del plano tangente z=P(x,y).
| (%i26) | P(x,y):=f(a,b)+(x-a)*fx(a,b)+(y-b)*fy(a,b); |
Para representar conjuntamente dos funciones debemos poner entre unos corchetes tanto las funciones
como los intervalos de x e y.
| (%i27) | plot3d( [ f(x,y),P(x,y), [x,-2,2], [y,-2,2] ] ); |
Ej. Halle el plano tangente a la gráfica de la función sen(x^2+y^2) en el punto
(sqrt(pi), sqrt(pi)/2) y en el punto (sqrt(pi), sqrt(pi)/sqrt(2)).
(Sol. z=-sqrt(pi/2)*(y-sqrt(pi)/2)-sqrt(2*pi)*(x-sqrt(pi))-1/sqrt(2),
z=-1 .)
4 Matriz jacobiana. Vector gradiente.
La matriz jacobiana y el vector gradiente contienen las derivadas parciales de una función,
con la diferencia de que la matriz jacobiana, como su nombre indica, es una matriz y el
gradiente es un vector.
Para hallar la matriz jacobiana usamos el comando jacobian, con la sintaxis
jacobian( [lista de funciones], [variables] )
debemos observar que la función o funciones deben ir entre unos corchetes, aunque sólo haya
una función.
El resultado es una matriz. Para una única función, el resultado es una matriz fila.
| (%i28) | jacobian( [x^4+5*y^3+2*x*y], [x,y] ); |
Podríamos obtener el mismo resultado de una manera más engorrosa, que nos sirve para comprobar
que el resultado de jacobian es una matriz formada por derivadas parciales.
| (%i29) | matrix( [ diff(x^4+5*y^3+2*x*y,x) ,diff(x^4+5*y^3+2*x*y,y) ] ); |
Si queremos evaluar la matriz jacobiana (o el gradiente) en un punto es conveniente usar el
comando define.
| (%i30) | define(j(x,y), jacobian([x^4+5*y^3+2*x*y],[x,y]) ) ; |
| (%i31) | j(1,2); |
Así, el gradiente de la función en el punto (1,2) es el vector (8,62). Según como vayamos a
utilizarlo podemos dejarlo como matriz, o escribirlo como una lista.
| (%i32) | v:[8,62]; |
| (%i33) | j(1,2)[1]; |
Ej. Halle el vector gradiente de la función g(x,y)=sqrt(4-(x^2+y^2) en el punto (0,0) y en el
punto (1,1). ¿Puede calcularse en el punto (2,0)? ¿y en el (2,2)?
(Sol. (0,0), (-1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) .)
Ej. Considere la función h(x,y)=x^2*y+x*y^3. Halle el valor máximo de la derivada direccional
en el punto (2,3). ¿En qué dirección se alcanza?
(Sol. sqrt(4885), v=( 39/sqrt(4885),58/sqrt(4885) ) .)
Ej. Usando el vector gradiente de la función g(x,y)=x+cos(x*y) en el punto A=(pi,1).
Usando el vector gradiente halle la derivada de g en el punto A según el vector v=(1,1) .
(Sol. gradiente=(1,0), Dvg(A)=1 ).