/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 12.01.0 ] */

/* [wxMaxima: title   start ]
Práctica 8. Funciones de varias variables.
   [wxMaxima: title   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En esta práctica definiremos funciones de varias variables reales y representaremos
gráficamente funciones de dos variables. También hallaremos límites reiterados y según 
conjuntos.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Definición de funciones de varias variables.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En Maxima las funciones de varias variables se definen y se evalúan de forma similar a 
las funciones de una variable.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x,y):=x^2-y^2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(1,2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g(x,y,z):=sin(x*y)+y/z-2*z;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g(1,2,3);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Defina una función A que calcule el área de un triángulo tomando como variables la longitud
de la base (b) y la longitud de la altura (h). Evalúe la función en (b,h)=(10,5).
(Sol. 25 .)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Dadas a,b y c las longitudes de los lados de un triángulo, las siguientes funciones definen 
el semiperímetro y el área de un triángulo según la fórmula de Herón. Calcule el área de 
un triángulo cuyos lados miden 120, 150 y 200 metros.
¿Puede calcular el área de un triángulo de lados a=80, b=70 y c=160?
(Sol. Área = 25*sqrt(128639) = 8966.569856974293 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
s(a,b,c):=(a+b+c)/2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
S(a,b,c):=sqrt( s(a,b,c) * (s(a,b,c)-a) * (s(a,b,c)-b) * (s(a,b,c)-c) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En esta práctica estudiaremos funciones reales de dos variables reales, esto es, cuyo 
dominio está dentro del plano, y la imagen de la función es un conjunto de números 
reales.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Recordamos que el comando functions nos devuelve una lista de las funciones que se hayan 
definido, y que la instrucción kill(functions) borra de la memoria dichas las funciones.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
functions;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(functions);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Gráficas.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para dibujar gráficas de dos variables en una ventana usamos la orden plot3d, en la que 
podremos incluir una o varias expresiones (funciones) y los rangos para las variables 
siguiendo esta sintaxis:
plot3d(expresiones, [variable,min,max], [variable,min,max], opciones) .

En estás gráficas el dominio de representación será rectángular.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Definimos una función de ejemplo y la representamos. La ventana que se abrirá puede 
cambiarse de tamaño, y también se puede cambiar el punto de vista pinchando y arrastrando
el ratón.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x,y):=exp(-(x^2+y^2));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
plot3d(f(x,y),[x,-2,2],[y,-1,1]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Con la misma sintaxis, el comando wxplot3d representa gráficas de dos variables, pero en 
el espacio de trabajo de wxMaxima, sin abrir una ventana nueva.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot3d( exp(-(x^2+y^2)) ,[x,-2,2],[y,-1,1]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
También se pueden representar gráficas de dos variables mediante sus curvas de nivel. 
Una curva de nivel de una función de dos variables f(x,y), está formada por los puntos 
del plano que verifican que f(x,y)=C, donde C es una constante. Así, una curva de nivel 
está formada por los puntos de la gráfica que están a una misma altura.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En Maxima las curvas de nivel se representan con el comando wxcontour_plot 
(o contour_plot) que tiene una sintaxis similar a la del comando wxplot3d.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxcontour_plot( exp(-(x^2+y^2)) ,[x,-2,2], [y,-1,1]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
A la vista de los colores de la leyenda se puede saber qué curva de nivel está más alta y
cuál más baja. Esta información puede ser de utilidad para localizar gráficamente máximos
o mínimos relativos.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle la gráfica y las curvas de nivel de la función t(x,y)=sen(xy) para -2<=x<=2, 
-2<=y<=2.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Límites.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Maxima no tiene una orden para realizar límites dobles. Sin embargo, al estudiar el 
límite doble de una función aparecen límites de una variable, que sí pueden realizarse 
con este programa. En concreto, podemos usar la orden limit para calcular un límite según
una recta o una curva, o para calcular límites reiterados.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x,y):=(x-y)/(x+y);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit( limit(f(x,y),x,0)  ,y,0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit( limit(f(x,y),y,0)  ,x,0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como los límites reiterados son distintos, la función no tiene límite en (0,0) y por
tanto no es continua en ese punto. Para poder apreciar mejor esta discontinuidad, 
representamos la función indicando en las opciones de plot3d que se den más valores (80) 
a las variables x e y.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
plot3d(f(x,y),[x,-1,1],[y,-1,1],[z,-5,10],['grid, 80, 80]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio: Calcule los límites reiterados de g(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2) en el punto 
(0,0).
(Sol. -1, 1)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En el siguiente ejemplo calculamos los limites segun las rectas y=m*x. Como el limite 
depende de m, es decir, depende de la recta que se considere para acercarse al punto 
(0,0), se concluye que el limite doble para (x,y)->(0,0) no existe.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g(x,y):=(x^2-y^2)/(x^2+y^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(g(x,m*x),x,0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
plot3d(g(x,y),[x,-1,1],[y,-1,1]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio: Calcule los límites según la recta y=m*x de la función 
g(x,y)=(x^2*y)/(x^3+y^3) en el punto (0,0).
(Sol. m/(m^3+1) .)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Ejercicios.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Se sabe que un lado de un triángulo mide a=100 metros, usando la fórmula de Herón, 
dibuje la gráfica de la función que da el área del triángulo para valores de b 
comprendidos entre 70 y 180, y valores de c comprendidos entre 80 y 170. ¿Aprecia, en la 
gráfica representada, algún máximo de la función S? ¿Podría representar la función S en 
un dominio menor que contenga ese máximo?
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Dibuje la grafica de la funcion f(x,y)=cos(x^2+y^2), asi como las curvas de nivel 
para -2<=x<=2, -2<=y<=2.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. La función que se define a continuación tiene varios puntos críticos en el dominio
-2<=x<=2, -2<=y<=2. Encuentre gráficamente para qué valores de las variables x e y se 
alcanzan el mayor y el menor valor de la función.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x,y):=(x^2+3*y^3)*exp(1-x^2-y^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle los límites de la función h(x,y)=xy^2 /(x^2+y^4) en (0,0) según las rectas 
y=m*x. Idem según las curvas x=u*y^2.
(Sol. 0, u/(u^2+1) .)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Estudie la continuidad de la funcion f(x,y)=( - x^2+y^2)/(x^2+y^4) si (x,y) es distinto 
de (0,0) y f(0,0)=0.
(Sol. No es continua )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */
"Created with wxMaxima"$