/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 0.8.7 ] */

/* [wxMaxima: title   start ]
Práctica 6. Resolución de ecuaciones.
   [wxMaxima: title   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En esta práctica estudiaremos como resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Maxima cuenta 
con comandos específicos para resolver distintos tipos de ecuaciones. Usaremos los comandos 
solve, allroots, realroots, linsolve y algsys.

También veremos el método de bisección y el método de Newton-Raphson para resolver ecuaciones;
no programaremos los métodos usando bucles o condicionales, pero si se mostrará la idea que 
subyace en cada método y se verán los comandos find_root y mnewton que permiten aplicar 
métodos similares a los descritos.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Las ecuaciones se escriben en Maxima como dos expresiones algebráicas separadas por un símbolo
igual. Una solución es un valor de la variable que cuando se sustituye en los dos términos de 
la igualdad se obtiene el mismo valor.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Cuando una ecuación se escribe de la forma f(x)=0, las soluciones de la ecuación se llaman 
también raíces de f.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Por ejemplo, la ecuación x^2=x+1 puede expresarse como x^2-x-1=0, y así las soluciones de la 
ecuación x^2=x+1 son las raíces de la función f(x)=x^2-x-1. A continuación definimos x0 y 
comprobamos que es raíz de f y que cumple la ecuación x^2=x+1.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=x^2-x-1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x0:(sqrt(5)+1)/2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
radcan( f(x0) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
radcan(x0^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
radcan(x0+1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Considere la ecuación sqrt(x+2)=2*x+3. Compruebe si alguno de los siguientes números 
son solución de la ecuación.
a)  1 .
b) -1 .
c)  0 .
(Indicación: Exprese la ecuación en la forma f(x)=0 y evalúe la función obtenida.)
(Sol. a) no, b) si, c) no .)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
El comando solve.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
El comando solve proporciona solución exacta (simbólica) para un gran conjunto de ecuaciones. 
Si además queremos una aproximación numérica de las soluciones simbólicas, podemos aplicar el 
comando float a las soluciones que proporciona el comando solve.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
La sintaxis del comando es solve(ecuaciones, variables). Vemos a continuación dos ejemplos.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
solve(x^2+x-6=0,x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
soluciones:solve(x^2-3*x-7=0,x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(soluciones);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Hemos visto que es posible guardar el resultado en una variable para manipularla 
posteriormente. En el siguiente ejemplo vemos que es posible definir una ecuación antes de 
resolverla y aplicamos rectform a las soluciones para obtener las soluciones en un formato 
adecuado.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ecuacion: (x-1)/(x+1)+2/(x^2-1)-1/x=0;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
soluciones: solve(ecuacion,x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(soluciones);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(rectform(soluciones));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle la solución o soluciones de
a) (x+2)/(x+3) + 2*(x-5)/(x-6)=3 .
b) ln(3x)=5 .
(Sol. a) -12, b) %e^5/3=49.4710530341922 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
También podemos usar el comando solve para resolver simbólicamente ecuaciones con parámetros,
y obtendremos las soluciones en función de ese parámetro. En el siguiente ejemplo vemos como
la x es considerada como variable, y m (que no se incluye con las variables) se considera 
parámetro.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
solve(x^2 - 3*x + m = 0, x );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En el siguiente ejemplo solve nos da x como una función que depende de x, y no nos proporciona
las soluciones de la ecuación. Veremos en las siguientes secciones otras maneras de resolver 
ecuaciones.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
solve(sqrt(x+2)=2*x+3 , x );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Es posible que solve sólo halle algunas soluciones, pero no todas. La siguiente ecuación tiene
infinitas soluciones, aunque Maxima nos da sólo una y nos avisa de que algunas de las 
soluciones no las mostrará.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
solve(sin(x)=0,x );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Considere la ecuación trigonométrica 2*sin(2*x)^2=1 .
a) Resuelva la ecuación con solve.
b) Exprese la ecuación en la forma f(x)=0 y represente la función para x en el intevalo 
[-pi, pi]. ¿Cuantos cortes con el eje OX pueden apreciarse en la gráfica?
(Sol. a) x=-%pi/8, x=%pi/8, b) Ocho raíces.)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Raíces de polinomios.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Hay polinomios (de quinto grado o superior) cuya solución no se puede expresar mediante
operaciones elementales y raíces. Además en algunas aplicaciones la solución exacta puede 
obtenerse, pero es tan compleja que es preferible trabajar con una solución aproximada.

En el siguiente ejercicio vemos un ejemplo de cada caso.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Aplique el comando solve a las siguientes ecuaciones. 
a) x^5-x+1=0
b) x^4-x^3+1=0
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Por eso son de utilidad los comandos de Maxima que hallan soluciones aproximadas de polinomios.

El comando allroots halla de forma aproximada todas las raíces de un polinomio. Su
sintaxis es allroots(ecuación_polinómica). Observe que no se indica cuál es la variable.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
allroots(x^2+x-6=0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio. Aplique el comando allroots a las siguientes ecuaciones. 
a) x^5-x+1=0 .
b) x^4-x^3+1=0 .
(Sol. a) x=0.35247154603173*%i+0.76488443360058, ...
b) x=0.6025654199986*%i+1.018912794385156, ... )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
El comando realroots es similar a allroots, pero nos devuelve solamente aproximaciones a las 
raíces reales del polinomio.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Vemos dos ejemplos. El primero es un polinomio de grado tres con sólo una raíz real y el 
segundo un polinomio de grado 4 que no tiene raíces reales.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
realroots(x^3-7*x^2+x-7=0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
realroots(x^4-x^3+1=0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En el siguiente ejemplo realroots nos devuelve una fracción, pero no es solución exacta de la 
ecuación, sino una aproximación. Al sustituir el valor de la fracción en el polinomio 
obtenemos un valor muy próximo a cero, pero no cero.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
realroots(x^5-x+1=0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
xa:-39168221/33554432;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(xa^5-xa+1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Se sabe que el polinomio x^6-4*x^4-x^2+4 tiene dos raíces complejas y cuatro raíces reales.
Halle las raíces reales del polinomio.
(Sol. -2, -1, 1, 2 )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Sistemas de ecuaciones.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En esta sección incluimos dos comandos de Maxima cuya finalidad es resolver sistemas lineales 
(linsolve) o polinómicos (algsys). En ambas daremos las ecuaciones en una lista y las 
incógnitas en otra lista.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Así, para resolver sistemas lineales, la sintaxis del comando es
linsolve(lista_de_ecuaciones, lista_de_incógnitas) .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
linsolve( [x+2*y=3,2*x-y=4],[x,y]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En el siguiente ejemplo definimos las ecuaciones antes de ser resueltas.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ec1: x+y+z=3;
ec2: 2*x+3*y-z=1;
ec3: (1/2)*x+y-z=-1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
linsolve([ec1,ec2,ec3],[x,y,z]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
El sistema que acabamos de resolver es compatible indeterminado (una ecuación es combinación 
lineal de las otras dos, y por tanto redundante). El sistema tiene infinitas soluciones en 
función de un parámetro que Maxima llama r1 .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle las soluciones del sistema
2*x +  y = 2,
  x -2*y = 3,
 -x -3*y = 1.
(Sol. x=7/5, y=-4/5 )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle las soluciones del sistema
 x+y+ z=1,
   y- z=1,
2x+y+3z=2.
(Sol. No tiene soluciones, es incompatible) 
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Si en lugar de ecuaciones lineales tenemos un sistema de ecuaciones polinómicas usamos el 
comando algsys cuya sintaxis es algsys(lista_de_ecuaciones, lista_de_incógnitas) .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En el siguiente ejercicio vamos a hallar la intersección de una elipse con una hipérbola.
Comenzamos planteando las ecuaciones del problema.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
elipse:(x-2)^2/3+(y-1)^2/4=5;
hiperbola: x^2-y^2=1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Las instrucciones de la siguiente celdilla (que no es necesario que comprenda ahora) muestran 
gráficamente las dos ecuaciones y los cuatros puntos que son las soluciones del sistema.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
load(draw);
wxdraw2d( implicit(elipse,x,-3,7,y,-5,6),implicit(hiperbola,x,-3,7,y,-5,6) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Con el comando algsys obtenemos los cuatro puntos de corte.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
algsys([elipse,hiperbola],[x,y]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle la intersección de estas dos circunferencias
x^2+y^2=2,
(x-2)^2+y^2=4.
(Sol. (x,y)=(1/2, -sqrt(7)/2), (x,y)=(1/2, sqrt(7)/2) .)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle la intersección de estas dos circunferencias
x^2+y^2=2,
(x-2)^2+y^2=R^2.
donde R no se considera incógnita, sino un parámetro.
(Sol. (x,y)=(-(R^2-6)/4, -sqrt(-R^4+12*R^2-4)/4 ),
(x,y)=( -(R^2-6)/4, sqrt(-R^4+12*R^2-4)/4 ) .
)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Método de bisección. El comando find_root.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En el método de bisección se halla una sucesión de intervalos cada vez más pequeños que 
contienen la raíz que buscamos. Cuando el intervalo sea lo suficientemente pequeño tendremos 
una buena aproximación de la raíz.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para explicar el método consideramos la ecuación e^x-x-2=0. En primer lugar planteamos la
ecuación en la forma f(x)=0 y definimos la función f.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=%e^x-x-2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Vemos que el comando solve no muestra ninguna solución de la ecuación.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
solve(f(x)=0,x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Sin embargo, la función f tiene una raíz, como se observa en la gráfica.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d(f(x),[x,0,2]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para justificar la existencia de raíz, no necesitamos la gráfica. Basta evaluar la función en
los extremos del intervalo.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(2.0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como la función f es una exponencial menos un polinomio, es continua, y además hemos visto que
en el intervalo [0,2] cambia de signo. Por el Teorema de Bolzano sabemos que dentro del 
intervalo [0,2] hay una raíz de f.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Vamos a considerar el punto medio del intervalo [0,2], esto es x=1, y evaluamos en ese punto 
la función f.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Según sea la función positiva o negativa en ese punto, sabremos si la función f presenta en el
intervalo [0,1] o en el [1,2] un cambio de signo.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(1.0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En este caso el valor de f en el punto medio es negativo, con lo que se puede asegurar, de 
nuevo por el teorema de Bolzano, que en el intervalo [1, 2] hay una raíz.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Volvemos a hallar el punto medio del intervalo y evaluamos f en el punto medio.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(1.5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como f(1) es negativo y f(1.5) es positivo, sabemos que hay una raíz en el intervalo [1, 1.5].
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Tras cada iteración, el intervalo que contiene la raíz se divide por la mitad. Este método 
puede requerir muchas iteraciones para obtener una buena aproximación a una raíz, pero es 
sencillo de implementar, y garantiza que en cada iteración estaremos más cerca de la raíz.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Considere la función f(x)=cos(x)-x.
a) Evalúe la función en 0 y en 1.0 .
b) Aplique el método de bisección para encontrar un intervalo de longitud 0.125 que contenga 
una raíz de f .
(Sol. Intervalos [0,1], [0.5, 1], [0.5, 0.75] y [0.625, 0.75] ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Si una función tiene varias raíces, debemos encontrar para cada raíz un intervalo que la 
contenga, y aplicar el método de bisección a cada uno de los intervalos. En estos casos 
la gráfica de la función nos ayudará a determinar estos intervalos.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
El comando find_root de Maxima usa una variante del método que hemos descrito.
La sintaxis del comando es find_root(función,variable,extremo_intervalo,extremo_intervalo).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
La siguiente instrucción halla una raíz de la ecuación f(x)=%e^x-x-2=0 en el intevalo [0,2] .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
find_root(%e^x-x-2,x,0,2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle aproximaciones a las dos raíces de la ecuación sin(x)-e^(x^2)+9/10=0 usando dos 
veces el comando find_root.
(Indicación: Represente la función de forma que puedan verse sus raíces, por ejemplo en 
-4<=x<=4 y en -4<=y<=4. A continuación modifique estos intervalos para 'acercarse' a la raíz. 
Luego determine dos intervalos en los que puedan hallarse las raíces)
(Sol. 0.11311928149888 y 0.6318087380143 )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Método de Newton-Raphson. El comando mnewton.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En esta sección veremos el método iterativo de Newton-Raphson, en el que a partir de una 
función y una aproximación inicial x0 se van obteniendo sucesivas aproximaciones x1, x2, ... 
que, bajo ciertas condiciones, estarán cada vez mas cerca de la raíz de la función.

Para ilustrar el proceso deduciremos la fórmula que permite hallar a partir de una de estas 
aproximaciones la siguiente iteración.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como ejemplo, buscamos una raíz de la función f(x)=e^x-x-2.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=%e^x-x-2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como vimos en la sección anterior, el comando solve no nos permite obtener una solución de 
f(x)=0, aunque al representar la gráfica vimos que hay una raíz.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d(f(x),[x,0,3],[y,-3,16]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como aproximación inicial a la raíz de f, consideramos x0=2 .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x0:2.0;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ahora consideramos la recta tangente a la gráfica de y=f(x) en el punto x0=2 .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
define( fprima(x) , diff(f(x),x) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
r(x):=f(x0)+fprima(x0)*(x-x0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d([f(x),r(x)],[x,0,3],[y,-3,16]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
La siguiente iteración, x1, será la intersección de la recta r(x) con el eje OX.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Hallamos la intersección despejando x de r(x)=0.
r(x)=0 ,
f(x0)+fprima(x0)*(x-x0)=0 ,
fprima(x0)*(x-x0)= -f(x0) ,
(x-x0)= -f(x0)/fprima(x0) ,
x=x0-f(x0)/fprima(x0) .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Llamamos x1 al punto de corte obtenido.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x1:x0-f(x0)/fprima(x0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ahora mostramos la función f(x), la recta tangente en el punto x0 y la recta tangente en el 
punto x1 que acabamos de hallar.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d([ f(x), r(x), f(x1)+fprima(x1)*(x-x1) ], [x,0,3], [y,-3,16]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Siguiendo la misma fórmula que hemos deducido, podemos hallar la siguiente iteracion x2.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x2:x1-f(x1)/fprima(x1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Si vamos a calcular varias iteraciones, es conveniente definir una g que nos permita, a partir 
de una iteración, hallar la siguiente.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g(x):=x-f(x)/fprima(x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
De esta manera x3 es g(x2).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x3:g(x2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Y así podemos hallar las siguientes iteraciones.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x4:g(x3);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x5:g(x4);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Vemos que en estas dos últimas aproximaciones las seis primeros cifras significativas 
coinciden, esto puede ser un indicio de que estamos cerca de una raíz. Comprobemos si x5 es 
una raíz de f.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Vemos que f(x5) no es exactamente 0 pero si un valor muy próximo a cero, así que podemos 
considerar que x5 es una aproximación a una raíz de f.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Considere la ecuación f(x)=sqrt(1-x^2)-x^2=0. 
a) Aplique el método descrito de Newton-Raphson para obtener 4 iteraciones partiendo de la 
aproximación inicial x0:0.5 .
b) Evalúe la función f en x4.
(Sol. a) x1=0.89054445662277, x2=0.80009421056141, x3=0.78636654994093, x4=0.7861514285185,
b) -1.4438087203583194*10^-7 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Normalmente el método de Newton-Raphson necesita menos iteraciones que el método de bisección 
para proporcionar una 'buena' aproximación . A cambio, el método de Newton-Raphson requiere 
determinar la derivada de una función y en algunos casos puede que no obtengamos convergencia 
a la raíz que buscamos.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Maxima incluye un comando llamado mnewton que implementa el método de Newton. Su sintaxis es 
mnewton(función, variable, aproximación_inicial) . El comando mnewton también puede aplicarse 
a una lista de funciones con varias variables, pero no lo estudiaremos en esta práctica.

Antes de ejecutar el comando mnewton debemos cargar con load el paquete que lo contiene
mediante la instrucción load(mnewton).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Vemos en el siguiente ejemplo como cargar el paquete y como aplicar el método de 
Newton-Raphson al ejemplo anterior para hallar una solución numérica de f(x)=e^x-x-2=0 
partiendo de una aproximación inicial x0=2.0.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
load(mnewton);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
mnewton(%e^x-x-2, x, 2.0 );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Usando el comando mnewton, y partiendo de la aproximación inicial 0.5, obtenga una raíz de
la ecuación f(x)=sqrt(1-x^2)-x^2=0.
(Sol. 0.78615137775742)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Ejercicios.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle de forma simbólica y también aproximada las soluciones de la ecuación 
x^2-x-1=0 .
(Sol. x1=-(sqrt(5)-1)/2 = -0.61803398874989 , x2=(sqrt(5)+1)/2=1.618033988749895 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Obtenga una solución de la ecuación sqrt(x+2)=2*x+3 .
(Indicación: Exprésela en la forma f(x)=0 y represente la función en el intervalo [-2,0]. )
(Sol. -1 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Usando mnewton, obtenga soluciones numéricas de la ecuación f(x)=x^3+94*x^2-389*x+294=0
tomando como aproximación inicial a) x0=1.9, b) x0=2.1, c) x0=2.
(En este caso se observa como la aproximación inicial influye en la solución que se obtiene)
(Sol. a) 1.0, b) 3.000000000000001, c) -98.0 )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Matemáticas II. Grado en Edificación. (A. Palomares.)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */
"Created with wxMaxima"$