/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/ /* [ Created with wxMaxima version 0.8.7 ] */ /* [wxMaxima: title start ] Práctica 5. Derivadas. Polinomio de Taylor. [wxMaxima: title end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Derivadas. [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: subsect start ] El comando diff. [wxMaxima: subsect end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para calcular derivadas en Maxima usamos el comando diff con la sintaxis diff(expresión, variable, número_de_veces) . Cuando se omite el número de veces, Maxima halla la primera derivada. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(%e^x,x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(sin(x),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(x^2 * log(x),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(x^sin(x),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ejercicio. Halle la derivada de la función arcotangente. (Sol. 1/(x^2+1) .) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] En los dos siguientes ejemplos, la función no es derivable en x=0. Maxima halla la derivada, pero no avisa de la derivabilidad de la función. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(x^(1/3),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(abs(x),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: subsect start ] Definición de derivada. Derivadas laterales. [wxMaxima: subsect end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] En ocasiones debemos recurrir a la definición de derivada usando límites. Como ejemplo vamos a considerar la función valor absoluto. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x):=abs(x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Sabemos que esta función no es derivable en x=0. Si calculamos el límite para intentar hallar f'(0), no obtenemos un valor real. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ limit( (f(x)-f(0))/(x-0),x,0); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ahora vamos a calcular la derivada por la izquierda y por la derecha de la función valor absoluto en el punto a=0. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ limit( (f(x)-f(0))/(x-0),x,0,minus); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ limit( (f(x)-f(0))/(x-0),x,0,plus); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Observamos que las derivadas laterales son distintas. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Tambien usaremos la definición de derivada para hallar la derivada en un punto de funciones definidas a trozos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para la siguiente función el comando diff no halla la derivada. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x):=if x<1 then %e^x else %e*x; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(f(x),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Escogiendo el 'trozo' adecuado, podemos tener la derivada para x<1. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f1(x):=%e^x; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(f1(x),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Y también para x>1. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f2(x):=%e * x; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(f2(x),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para determinar si la función es derivable, empleamos la definición de derivada. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ limit((f1(x)-f1(1))/(x-1),x,1,minus); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ limit((f2(x)-f2(1))/(x-1),x,1,plus); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Como los dos límites son iguales, podemos afirmar que la función es derivable en x=1. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Considere la función f(x)= 0 si x<=0, x^2*cos(1/x) si x>0. a) Compruebe que f es derivable por la izquierda y por la derecha en x=0. b) Defina la función derivada de f. c) Halle los límites laterales de f '(x) en x=0. (Sol. a) Las dos derivadas laterales valen 0. c) 0, no existe. ) (Observe que el límite de f'(x) no existe en x=0, pero f es derivable en ese punto) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: subsect start ] Función derivada. Derivada de una funcion en un punto. [wxMaxima: subsect end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] En esta sección veremos dos maneras de definir la función derivada. Esto nos servirá, por ejemplo, para poder representarla o para evaluar la derivada de una función en un punto. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] La primera manera es tan sencilla como hallar la derivada con diff y luego copiar y pegar ese resultado en la definición de la función derivada. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ q(x):=x^3-6*x^2+9*x+1; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(q(x),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ qprima(x):=3*x^2-12*x+9; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ qprima(1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ qprima(2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ wxplot2d([q(x),qprima(x)], [x,0,4]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Defina la función fprima como la derivada de la función 2*x^3-3*x^2-36*x+7. Halle fprima(-2), fprima(0) y fprima(3). (Sol. 0, -36, 0) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Otra manera de definir la función derivada, sin cortar y pegar, requiere del comando define con la sintaxis define( nombre_de_función, expresión ). [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ g(x):=cos(%pi*x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ define( gprima(x) , diff(g(x),x) ); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ gprima(1); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ gprima(3/2); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Emplee el comando define para definir la función derivada de f(x)=cos(3*acos(x)). Evalúe la derivada en x=-1/2 y en x=1/2. (Sol. 0, 0) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: subsect start ] Recta tangente. [wxMaxima: subsect end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para definir la recta tangente usamos la derivada de una función en un punto. En el siguiente ejemplo hallamos la tangente a la gráfica de de la función seno en el punto a=0. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ f(x):=sin(x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ diff(f(x),x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ fprima(x):=cos(x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ fprima(0); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ r(x):=f(0)+fprima(0)*(x-0); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ r(x); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Considere la función f(x)=x^3 - 3*x^2 + x . a) Halle la derivada de f(x) en el punto a=1. b) Halle la recta tangente a f(x) en el punto a=1. c) Represente conjuntamente la recta tangente hallada y la función f(x) en el intervalo [0,2]. (Sol. a) -2, b) -2*(x-1)-1=-2x+1 ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Polinomio de Taylor. [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] La manera más sencilla de obtener el desarrollo de Taylor de una función consiste en usar el comando taylor, con la siguiente sintaxis, taylor( expresion, variable, punto, orden ). Por ejemplo, si queremos hallar el desarrollo de Taylor de orden 5 de la función seno de x en en el punto a=0 escribimos la siguiente instrucción. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ taylor(sin(x),x,0,5); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle el desarrollo de Taylor de orden 7 correspondiente a la función f(x)=1/(1-x) en el punto a=0. (Sol. 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+... ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ taylor(1/(1-x),x,0,7); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle el desarrollo de Taylor de orden 3 correspondiente a la función f(x)=log(x) en el punto a=1. (Sol. (x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3+... ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ taylor(log(x),x,1,3); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Los puntos suspensivos que aparecen al final del desarrollo no forman parte del polinomio de Taylor. Para evaluar en un punto o para representar el polinomio de Taylor se puede definir una función sin los puntos suspensivos, por ejemplo copiando y pegando los términos del polinomio. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ taylor(sin(x),x,0,5); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ p(x):=x-x^3/6+x^5/120; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ wxplot2d( p(x),[x,-3,3]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle el polinomio de Taylor de orden 6 de la función f(x)=cos(x) en el punto x=0. Evalúe el polinomio obtenido en 1. Represente conjuntamente el polinomio obtenido y la función coseno en el intervalo [-3.5, 3.5]. (Sol. 389/720 ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Con el siguiente ejemplo vemos que Maxima usa la misma definición que vimos en clase, salvo que en lugar de incluir una expresión para el resto, aparecen puntos suspensivos. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ kill(f,a); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ taylor(f(x),x,a,5); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle P(x) el polinomio de Taylor de orden 5 de la función f(x)=e^x en el punto a=0. Represente gráficamente el error f(x)-P(x) en el intervalo [-1,1] y en el intervalo [-8,8]. ¿Qué error se comete al considerar P(1) como una aproximación de f(1)? ¿Qué error se comete al considerar P(8) como una aproximación de f(8)? (Sol. 0.0016151617923783, 2410.891320375062 ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle el polinomio de Taylor de orden 2 del coseno en el punto a=0. Halle el polinomio de orden 3 del coseno en el punto a=0. ¿Por qué se obtiene el mismo resultado? ¿Puede decirse que el polinomio de Taylor de orden n es un polinomio de grado n? (Sol. 1-x^2/2, 1-x^2/2 ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. En este ejercicio usamos el polinomio de Taylor para expresar un polinomio en potencias de (x-a). a) Halle el polinomio de Taylor de orden 6 de f(x)=x^6 en el punto a=1. b) Con la orden radcan, compruebe que el polinomio obtenido es igual a x^6. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle el polinomio de Taylor de orden 3 de la función raíz cúbica en el punto a=8. Emplee el polinomio obtenido para hallar una aproximación de la raíz cúbica de 8.2 . (Sol. 2 + (x-8)/12 - (x-8)^2/288 + (5*(x-8)^3)/20736, 2.016529706790124 ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle el polinomio de taylor de orden 4 de la función f(x)=log(x+1) en el punto a=0. Emplee el polinomio para hallar una aproximación de log(1.1) y log(0.9). (Indicación. ¿Para qué valor de x se tiene que log(x+1)=log(1.1)? ) (Sol. 0.095308333333333, -0.10535833333333 ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Ejercicios. [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle los puntos de la gráfica de y=x^3+2*x^2+x-1 en los que la recta tangente es horizontal. (Sol. (x,y)=(-1, -1), (x,y)=(-1/3, -31/27) .) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle la derivada de la función g(x)=atan(x)+acot(x). Represente la función g(x) en el intervalo [-3, 3]. ¿A la vista de la gráfica diría que la función g es constante? (Sol. 0) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Considere la siguiente función. f(x)= 0 si x=0, e^(-1/x^2) si x distinto de cero. a) Halle el límite de la función cuando x tiende a cero. b) ¿Es continua la función en x=0? c) Usando el comando limit y la definición de derivada, determine si la función es derivable en cero. (Sol. a) 0. ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Halle el polinomio de Taylor de orden 3 la función g(x)=x^3+2*x^4 en el punto a=0. Idem de orden 4 y orden 5. (Sol. x^3, x^3+2*x^4, x^3+2*x^4 ) [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ej. Hallar A y B para que la función sea derivable en todo su dominio. h(x)= A*sen(x-2), si x<2, 3x+B, si x>=2. (Sol. A=3, B=-6 ). [wxMaxima: comment end ] */ /* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */ "Created with wxMaxima"$