/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 0.8.7 ] */

/* [wxMaxima: title   start ]
Práctica 4. Límites. Continuidad.
   [wxMaxima: title   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En esta práctica veremos como hallar límites de funciones reales de variable real, y los 
usaremos para estudiar la continuidad de una función en un punto.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Límites
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
El comando limit.
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para hallar límites con Maxima se emplea el comando limit. La sintaxis general del comando es
limit( expresión, variable, punto, dirección ). En los siguientes apartados veremos como usar
el comando para hallar límites en un punto, límites laterales y límites en infinito.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Límite en un punto.
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para hallar el límite de una función en un punto, basta indicar la función, la variable y el 
punto.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(sin(x)/x,x,0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio. Halle el límite de la función sen(2x)/x cuando x tiende a 0.
(Sol. 2 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Al hallar un límite, Maxima devuelve el resultado 'und' cuando el resultado es indefinido 
(undefined), y el resultado 'ind' cuando el resultado es indeterminado pero acotado 
(indefinite). Veamos un ejemplo de cada caso.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En primer lugar buscamos el límite cuando x tiende a cero de sen(1/x) .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit( sin(1/x), x, 0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d(sin(1/x),[x,-1,1]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En este caso, cuando x tiende a cero, 1/x tiende a infinito y el seno de 1/x no tiende a un 
número sino que oscila entre -1 y 1, con lo que sen(1/x) no tiene límite, pero está acotado.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
A continuación buscamos el límite cuando x tiende a cero de la función
f(x)=(1/x)*sin(1/x).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit((1/x)*sin(1/x),x,0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d((1/x)*sin(1/x),[x,-1,1],[y,-100,100]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En este caso, al acercarnos a cero, estamos multiplicando la función (1/x) que no está acotada, 
por la función sin(1/x) que oscila entre -1 y 1, con lo que la al acercarnos a cero la función 
oscila cada vez con mayor amplitud.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Límites laterales.
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Si queremos hallar el límite de la función 2^(1/x) cuando x tiende a 0, Maxima nos devuelve que
es indefinido.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(2^(1/x),x,0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Hallaremos los límites laterales para obtener información más precisa. Para esto, debemos 
indicar en el comando limit por qué lado queremos calcular el límite. Si ponemos 'minus'
calculará el límite por la izquierda, si ponemos 'plus' calculará el límite por la derecha.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(2^(1/x),x,0,minus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(2^(1/x),x,0,plus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Así, vemos que se obtiene 0 si x tiende a 0-, (límite cuando x tiende a cero por la izquierda, 
es decir límite cuando x tiene a cero mediante x<0), y se obtiene infinito si x tiende a 0+, 
(límite cuando x tiende a cero por la derecha, es decir límite cuando x tiende a cero mediante
x>0). 
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En el siguiente ejemplo Maxima devuelve infinity, que significa que en módulo (en valor 
absoluto) la función tiende a infinito.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(tan(x),x,%pi/2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
De nuevo, para concretar más, hallamos los límites laterales.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(tan(x),x,%pi/2,minus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(tan(x),x,%pi/2,plus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Vemos que el límite por la izquierda es mas infinito, y por la derecha es menos infinito.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio. Halle el límite de la función f(x)=(x^3-1)/(x^2-1) cuando x tiende a -1.
(Sol. No existe límite. Por la izquierda es menos infinito, por la derecha es mas infinito)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle los límites laterales en 1 de 3^(1/(x-1)) .
(Sol. Por la izquierda 0, por la derecha infinito )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
*Ejercicio. Considere la función f(x)=arccos(x-1).
Halle el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de la función f.
¿Puede hallarse el límite cuando x tiende a cero por la izquierda?
¿Existe el límite de f cuando x tiende a cero?
(Indicación: Halle f(-0.00001). Represente f en el intervalo [-1,1]. )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Límites en infinito.
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para hallar límites en infinito introducimos inf en lugar del punto. 
Para hallar límites en menos infinito introducimos minf en lugar del punto.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d(atan(x),[x,-100,100]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(atan(x),x,inf);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(atan(x),x,minf);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle el límite cuando x tiende a infinito de la función (1+1/x)^x .
(Sol. e ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle el límite cuando x tiende a infinito de la función seno.
(Sol. ind, no existe. )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Límite de funciones a trozos.
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
El comando limit no sirve para hallar funciones a trozos definidas con if-then-else. Para 
hallar límites de funciones a trozos, debemos nosotros elegir el 'trozo' de función adecuada 
para hacer el límite.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=if x<=0 then sin(2*x) else 2*x;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d(f(x),[x,-2,2]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(f(x),x,0,minus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Si queremos hacer el límite de esta función cuando x tiende a cero por la izquierda, debemos 
usar la función sin(2*x) .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(sin(2*x),x,0,minus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para hallar el límite por la derecha usamos la función 2x .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(2*x,x,0,plus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Observe que para hallar estos límites no es necesario definir la función con if-then-else .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio. Considere la función f dada por f(x)=
x/(2^(1/x)+1) si x<0,
37 si x=0,
1/(2^(1/x)+1) si x>0.

Halle el límite cuando x tiende a 0 de la función f.
(Sol. 0)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Continuidad
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como hemos visto en teoría, una función es continua en un punto si (y solamente si) existe
el limite de la función en ese punto y vale igual que la función en ese punto.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como ejemplo estudiamos la continuidad en cero de la función dada por f(x)=
x*sin(1/x) si x distinto de cero,
         0 si x=0.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit( x*sin(1/x), x, 0, minus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit( x*sin(1/x), x, 0, plus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como f(0)=0 y los límites laterales valen también 0, decimos que f es continua en cero.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio.
Sea f(x)=
  x si x<1,
x^2 si x>=1.

Compruebe si la función f es continua en x=1.
(Sol. Es continua).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ahora vamos a considerar la siguiente función definida con un parámetro, f(x)=
a-x si x<1,
x^2-a si x>=1.

Queremos determinar si algún valor del parámetro a hace que la función sea continua.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En primer lugar borramos todas las variables y funciones, y definimos los dos trozos que 
definen la función.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(all);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f1(x):=a-x;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f2(x):=x^2-a;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
A continuación vamos a hallar el límite de la función cuando x tiende a 1, para lo cual usamos 
límites laterales y las funciones definidas para cada trozo.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(f1(x),x,1,minus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
limit(f2(x),x,1,plus);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f2(1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para que los límites laterales coincidan con el valor de la función, debe ocurrir que a-1=1-a .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
solve(a-1=1-a,a);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Así, si a=1, la función será continua. Vamos a representar la función para ese valor del 
parámetro.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=if x<1 then 1-x else x^2-1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d(f(x),[x,-1,3]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio. Calcule el valor de b para que la siguiente función sea continua.    
g(x)=x+1   si x<0,
g(x)=b*e^x si x>=0.

(Sol. b=1 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Ejercicios
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Defina la función f(x)=(x+1)/(x-1), y calcule el límite cuando x tiende a 2, los límites 
laterales cuando x tiende a 1, y los límites cuando x tiene a infinito y a menos infinito.

(Sol. 3, menos infinito, mas infinito, 1, 1)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle el límite cuando x tiende a cero de la función x/abs(x) .
(Sol. No existe. Por la izquierda vale -1, por la derecha vale 1.)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Considere la siguiente función definida para x distinto de cero
f(x)=x/(3^(1/x)+1) .

¿Qué valor habría que darle a f(0) para que f fuese continua?
(Sol. 0)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Compruebe si es continua la siguiente función, f(x)=-1 si x<=2, f(x)=-x^2-4x-3 si x>2.

(Sol. No es continua.)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Calcule el valor de A para que sea continua la función 
f(x)=e^(-x) si x < -2, 
f(x)=x^2+2x+A si x>=-2.

(Sol. A=e^2 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Matemáticas II. Grado en Edificación. (A. Palomares.)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */
"Created with wxMaxima"$