/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 0.8.7 ] */

/* [wxMaxima: title   start ]
Práctica 2. Números complejos
   [wxMaxima: title   end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Operaciones con números complejos. Forma binómica de un número
complejo.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Como vimos en la práctica anterior, la unidad imaginaria es la constante %i. Las operaciones 
elementales se pueden aplicar a números complejos.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
(1+2*%i)+(3+8*%i);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
(1+3*%i) - (7+2*%i);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
(1+sqrt(3)*%i) * (2+2*%i);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
(1+sqrt(3)*%i) / (2+2*%i);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
(1-%i)^3;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
expand(%i3);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Observamos que algunas operaciones quedan indicadas. Para que sean efectuadas debemos
emplear una instrucción de manipulación algebráica o, más sencillo, pedir a Maxima que nos 
muestre el resultado en forma binómica con la instrucción rectform .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ratsimp( expand( (1+sqrt(3)*%i) * (2+2*%i) ) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
rectform( (1+sqrt(3)*%i) * (2+2*%i) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Observamos que, al contrario de lo que acostumbramos, Maxima ha mostrado la parte imaginaria al 
principio, y luego la parte real.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio: Defina los números z1=1+%i y z2=1-%i. Exprese en forma binómica la suma z1+z2, 
la resta z1-z2, y el producto z1*z2 .
(Solución : 2, 2*%i, 2 )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
El módulo de un número complejo se halla con abs, la parte real con realpart, la parte 
imaginaria con imagpart, el argumento de un número complejo con carg y el conjugado con 
conjugate .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
z:(1+sqrt(3)*%i);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
abs(z);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
realpart(z);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
imagpart(z);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
carg(z);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
conjugate(z);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio. Halle el módulo y el argumento del número complejo 2+i.
(Sol. Módulo=sqrt(5), argumento=atan(1/2)=0.46364760900081 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio. Sea w el número que resulta de dividir (2+2*%i) entre (1-%i).
Halle la parte real, y la parte imaginaria de w.
(Sol. Parte real 0, parte imaginaria 2).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio: Defina el número w1=-1+sqrt(3)*%i. Halle el argumento de w1 y el argumento del 
conjugado de w1.
(Sol. 2*pi/3, y -2*pi/3 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio: Defina el número complejo z0=1-7*%i.
Compruebe que z0 por su conjugado es igual al módulo al cuadrado de z0.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Formas polar y trigonométrica de un número complejo.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Un número complejo se puede expresar mediante su forma polar a partir de su módulo y su 
argumento. En Maxima la función polarform expresa un número complejo usando la 
exponencial compleja, lo cual muestra el módulo y argumento del número complejo.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
polarform(1+%i);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Recordamos que, por la definición de exponencial compleja, se tiene que 
e^(theta) = cos(theta) + i*sen(theta).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
polarform( 5*( cos(%pi/3)+%i*sin(%pi/3) ) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
La siguiente expresión es el primer término de la famosa identidad de Euler (1707-1783) 
que involucra cinco constantes que se emplean en matemáticas.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
%e^(%i*%pi)+1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Vemos en el siguiente ejemplo que polarform devuelve el argumento principal del número.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
polarform( 5*( cos(7*%pi/3)+%i*sin(7*%pi/3) ) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
A continuación introducimos en Maxima un mismo número complejo de tres maneras distintas.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En la forma binómica, definimos el número a partir de su parte real y su parte imaginaria.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
a:1;
b:1;
wbinomica:a+b*%i;
polarform(wbinomica);
rectform(wbinomica);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En la forma polar, introducimos el número a partir de su módulo y su argumento.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
r:sqrt(2);
theta:%pi/4;
wpolar: r*%e^(%i*theta) ;
polarform(wpolar);
rectform(wpolar);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para introducir un número en forma trigonométrica, también partimos de su módulo y su 
argumento.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
r:sqrt(2);
theta:%pi/4;
wtrigonometrica:r*(cos(theta)+%i*sin(theta));
polarform(wtrigonometrica);
rectform(wtrigonometrica);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Aunque en este ejemplo los números se han definido usando variables previas, los números 
complejos pueden introducirse directamente como se muestra a continuación.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
w1:1+%i;
w2:sqrt(2)*%e^(%i*%pi/4);
w3:sqrt(2)*(cos(%pi/4)+%i*sin(%pi/4));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
rectform( w1-w2 );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Si queremos obtener la forma trigonométrica de un número complejo, nos basta con calcular 
con Maxima su forma polar, y luego escribir nosotros la forma trigonométrica.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
polarform( sqrt(3)+%i );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ztrigonometrica:2*( cos(%pi/6)+%i*sin(%pi/6) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
rectform( ztrigonometrica );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Radicación de números complejos.
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(all);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Para hallar una raíz n-ésima de un número complejo en Maxima podemos reproducir las fórmulas
que se dieron en clase, para lo cual necesitamos primero obtener el módulo y argumento de un
número complejo, y luego hallar el módulo y los argumentos de las raíces n-ésimas .
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Una manera más sencilla de obtener las raíces n-ésimas consiste en usar la orden solve. Así 
para hallar todas las raíces n-ésimas de un número z basta resolver una ecuación w^n=z.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
solve(w^4=%i,w);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Si queremos el resultado en otra forma, basta usar la función correspondiente.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
rectform([ (-1)^(1/8)*%i, -(-1)^(1/8), -(-1)^(1/8)*%i, (-1)^(1/8)]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
polarform([ (-1)^(1/8)*%i, -(-1)^(1/8), -(-1)^(1/8)*%i, (-1)^(1/8)]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
rectform(solve(z^3=8,z));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio : Halle las raíces octavas de la unidad.
(Solución: (i+1)/sqrt(2), i,  (i-1)/sqrt(2), -1, -(i+1)/sqrt(2), -i, -(i-1)/sqrt(2), 1 ) 
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio : Halle los números complejos que cumplen que z^4=sqrt(2)/2+sqrt(2)/2*%i .
(Solución: -sin(pi/16)+i*cos(pi/16), -cos(pi/16)-i*sin(pi/16),
sin(pi/16)-i*cos(pi/16), cos(pi/16)+i*sin(pi/16)  .)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio : Halle los números complejos que cumplen la ecuación z^2 + i*z + 6 = 0.
(Solución: -3i, 2i ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio : Halle las soluciones de la ecuación x^2+x+1=0. Exprese las soluciones en forma 
trigonométrica. Observe que las soluciones son complejas conjugadas.
(Sol. cos(-2pi/3)+isen(-2pi/3), cos(2pi/3)+isen(2pi/3) )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Los siguientes ejemplos, que no es necesario que aprenda, muestran la posición de las raíces
de un número complejo. Veremos la instrucción draw en la siguiente práctica para representar
funciones.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En el primer ejemplo vemos las raíces cuartas de la unidad.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
sol1:solve(z^4=1,z);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
lista1:[%i,-1,-%i,1];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
xcoord:realpart(lista1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ycoord:imagpart(lista1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxdraw2d(xrange = [-2,2], point_type=filled_circle,
yrange = [-1.1,1.1], point_size = 1.2, points(xcoord,ycoord) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
En el segundo ejemplo vemos las raíces quintas de la unidad imaginaria.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
sol2:solve(z^5=%i,z);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
lista2:[
(-1)^(1/10)*%e^((2*%i*%pi)/5), 
(-1)^(1/10)*%e^((4*%i*%pi)/5), 
(-1)^(1/10)*%e^(-(4*%i*%pi)/5),
(-1)^(1/10)*%e^(-(2*%i*%pi)/5), 
(-1)^(1/10)
];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
xcoord:realpart(lista2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ycoord:imagpart(lista2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxdraw2d(xrange = [-2,2], point_type=filled_circle,
yrange = [-1.1,1.1], point_size = 1.2, points(xcoord,ycoord) );
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Ejercicios
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Llame d1 a la primera cifra de su DNI o pasaporte. Considere el número 
w1:d1+%i*sqrt(3)*d1.
Compruebe que el cubo de w1 dividido entre el cubo de su conjugado es igual a 1.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Halle las raíces cúbicas de la unidad imaginaria. Exprese los resultados en
forma polar.
(Sol. (r, theta) = (1, 5pi/6), (1,-pi/2), (1,pi/6) .)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Compruebe que si w=cos(alpha)+i*sen(alpha), el número (w-1)/(w+1) es 
imaginario puro (se supone w distinto de -1, y de 1).
(Indicación: Halle la parte real de (w-1)/(w+1) y simplifique la expresión trigonométrica
que se obtiene.)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. En el libro Ars Magna (Cardano, 1545) se describen los números
          ____
x1= 5 + \/-15    y
          ____
x2= 5 - \/-15    .

Compruebe que ambos números son imaginarios, que suman 10 y que su producto es 40.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Encuentre dos números que sumen 10 y que su producto sea 30.
(Indicación: Puede considerar que los números son x y 10-x )
(Sol. 5-sqrt(5)*i, 5+sqrt(5)*i .)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Un oscilador armónico amortiguado puede representarse como la parte real de zeta, 
dada por las siguientes definiciones

beta:omega+epsilon*%i;
a:A*exp( (phi-%pi/2)*%i );
zeta:a*%e^(beta*%i*t);

Halle la parte real de zeta.
(Sol. A*%e^(-epsilon*t)*sin(omega*t+phi)  .)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ej. Considere z1=1+3i, z2=2+i. Calcule el módulo de z1+z2, y la suma de los módulos de z1 
y z2. (Observe que |z1+z2|<=|z1|+|z2| ).
(Sol. 5, 5.39834563766817 ).
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio: Compruebe, sin resolver ninguna ecuación, que los siguientes números son raíces 
terceras del número 8: z1=-1+sqrt(3)*i, z2=-1-sqrt(3)*i, z3=2.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ejercicio : Considere los siguientes números complejos:
w1=cos(2pi/5)+i sin(2pi/5), w2=2^(1/12)*e^(i*pi/24), w3= 1-2*i .

Uno de ellos es inverso de 1/5+2/5*i, otro es raíz sexta de 1+i, y otro raíz quinta de la 
unidad. Identifique cada uno de ellos.
(Sol. w1 es raíz quinta de 1, w2 es raíz sexta de 1+i, w3 es inverso de 1/5+2/5*i. )
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Matemáticas II. Grado en Edificación. (A. Palomares.)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */
"Created with wxMaxima"$