Práctica 1. Números reales. Expresiones Algebráicas
1 Operaciones elementales
Para efectuar cálculos podemos usar los símbolos de sumar +, restar -, multiplicar *,
dividir / y elevar a potencias ^. Observe en los siguientes ejemplos que no puede usarse
el espacio para indicar una multiplicación y que el orden en el que se efectúan las
operaciones es el usual (primero las potencias, luego las multiplicaciones y divisiones
y luego sumas y las restas). Para cambiar el orden en el que se efectúan las operaciones
se emplean paréntesis.
| (%i1) | 2*3+2; |
| (%i2) | 2 3+2; |
| (%i3) | 2+2*3; |
| (%i4) | (2+2)*3; |
| (%i5) | 1/2+3; |
| (%i6) | 1/(2+3); |
| (%i7) | 1/2-1/4+1/5; |
| (%i8) | (1/2)-(1/4)+(1/5); |
| (%i9) | 2^3*10; |
| (%i10) | 2^(3*10); |
Vemos que Maxima ha efectuado las operaciones con fracciones de forma exacta. Para obtener
una aproximación numérica de una expresión podemos emplear el comando float.
| (%i11) | float(1/3); |
Ejercicio: Hallar el valor exacto y una aproximación de 2^(2+1)+2(3-7)+1/3.
(Solución : 1/3 y 0.33333333333333)
2 Constantes
En Maxima están ya definidas muchas constantes como %pi (el cociente entre la longitud de
una circunferencia y su diámetro), %e (la base de los logaritmos naturales), %i (la unidad
imaginaria) o %phi (el número de oro).
| (%i12) | %pi; |
| (%i13) | float(%pi); |
| (%i14) | float(%e); |
| (%i15) | %i*%i; |
| (%i16) | %i^4; |
| (%i17) | %phi; |
| (%i18) | float(%phi); |
| (%i19) | %phi^2-%phi-1; |
| (%i20) | float(%phi^2-%phi-1); |
Ejercicio: Claudio Ptolomeo (~85~165 d.C.) dió la fracción 377/120 como aproximación del
número pi. Halle cuántos dígitos exactos tiene esta aproximación.
(Sol. cuatro dígitos exactos.)
Ejercicio: En 1597 se dió el valor de 0.6180340 como una aproximación al inverso del número
de oro. Multiplique el número de oro por la aproximación citada y observe que el resultado
es próximo a la unidad.
(Solución : 1.000000018203052)
3 Variables
En Maxima se puede asignar un valor a una variable usando : el símbolo de dos puntos.
| (%i21) | a:2; |
| (%i22) | a+3; |
Observe que el = (símbolo de igual), no sirve para asignar variables. Se utiliza en Maxima
para escribir ecuaciones y comparar la igualdad de dos valores.
| (%i23) | c=17; |
| (%i24) | c+2; |
Ejercicio: Un triángulo tiene lados a=6, b=5, c=3. Halle el área A del triángulo usando la
fórmula de Herón que establece que A es sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)), donde s es la mitad del
perímetro. (La función sqrt es la raíz cuadrada que veremos en la siguiente sección)
(Indicación. Defina las variables a, b y c. Luego defina s. Luego halle A.)
(Sol. A=2*sqrt(14) )
Para ver las variables que se han definido, usamos el comando values.
| (%i25) | values; |
Para borrar variables usamos el comando kill. Si el argumento es una variable o lista de
variables, borrará sólo esas variables. Si ejecutamos la instrucción kill(all) borrará
todas las variables.
| (%i26) | kill(a,b); |
| (%i27) | values; |
| (%i28) | kill(all); |
4 Funciones elementales
Muchas funciones pueden usarse en Maxima sin que tengamos que definirlas, como la raíz
cuadrada (sqrt), la exponencial (exp), el logaritmo neperiano (log), el seno (sin),
el coseno (cos), la tangente (tan) así como el arcoseno (asin), el arcocoseno (acos)
y la arcotangente (atan). En las funciones trigonométricas los ángulos se expresan en
radianes.
| (%i1) | sqrt(4); |
| (%i2) | log(exp(17)); |
| (%i3) | cos(0); |
| (%i4) | cos(%pi/2); |
| (%i5) | asin(sin(1.3)); |
| (%i6) | asin(sin(%pi)); |
| (%i7) | asin(sin(%pi+2*%pi)); |
Ejercicio: Defina n1 como el logaritmo neperiano de e^4/7^3, donde e es la la base de los
logaritmos neperianos. Defina n2 como 4-3*log(7). Halle una aproximación numérica de n1-n2.
(Sol. -4.44*10^(-16). Veremos que operando de forma exacta se obtiene que n1=n2 . )
Ejercicio: Halle de manera exacta el seno y el coseno de los ángulos 30, 45, 60 y 90 grados.
(Solución : 1/2, 1/sqrt(2), sqrt(3)/2, 1 para los valores del seno y sqrt(3)/2, 1/sqrt(2),
1/2 y 0 para los valores del coseno)
También podemos usar las razones trigonométricas inversas (para el producto) y sus recíprocas.
Así tenemos la cotangente (cot) y arco cotangente (acot), la cosecante (csc) y arco cosecante
(acsc), así como la secante (sec) y arco secante (asec).
Observe que la funciones recíprocas para la composición que comienzan por arco se escriben
en Maxima comenzando por a (asin, acos, atan, acot, acsc, asec).
Ejercicio: Halle la tangente y la cotangente de Pi/3. Multiplique ambas cantidades para
comprobar que son una la inversa para el producto de la otra.
Ejercicio: Se sabe que el cuadrado de la cosecante de un ángulo menos el cuadrado de la
cotangente del mismo ángulo vale siempre 1. Compruebe esta igualdad para x=Pi/2 y para x=Pi/4.
Las funciones hiperbólicas se introducen en Maxima como sigue: seno hiperbólico (sinh),
argumento seno hiperbólico (asinh), coseno hiperbólico (cosh), argumento coseno hiperbólico
(acosh), tangente hiperbólica (tanh) y argumento tangente hiperbólica (atanh).
También pueden usarse las razones inversas (para el producto): coth, csch, sech y sus
recíprocas (para la composición) acoth, acsch, asech.
Observe que las funciones hiperbólicas se escriben como las correspondientes trigonométricas,
pero acabadas en h (sinh, asinh, cosh, acosh ...)
| (%i8) | sinh(3.0); |
| (%i9) | asinh(sinh(3.0)); |
| (%i10) | tanh(atanh(2)); |
| (%i11) | float( coth(2)*tanh(2) ); |
Ejercicio: Halle el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico de 1.5. Compruebe que
cosh(1.5)^2-sinh(x)^2=1.
(Sol. cosh(1.5)=2.352409615243247, sinh(1.5)=2.129279455094817 ).
El factorial de un número n se denota con n! y es el resultado de multiplicar
1*2*3*4*...*(n-1)*n .
| (%i12) | 5! ; |
| (%i13) | 10! ; |
La función binomial(n,k) da el resultado n!/(k! (n-k)!) que se emplea en combinatoria y en
el desarrollo del binomio de Newton.
| (%i14) | binomial(7,3); |
| (%i15) | 7!/(3!*4!); |
| (%i16) | 7*6*5*4*3*2*1/(3*2*1*4*3*2*1); |
5 Manipulación de expresiones.
Maxima incluye muchos comandos que permiten manipular expresiones algebraicas.
Para desarrollar productos y potencias podemos usar el comando expand. Para desarrollar un
cociente de polinomios en fracciones simples usamos partfrac, debemos indicar como argumentos
el cociente que queremos desarrollar y la variable respecto de la que queremos hacer el
desarrollo. Para factorizar una expresión usamos el comando factor.
| (%i17) | expand( (x+2)^5 ); |
| (%i18) | expand( (x-2)^2*(x+1)); |
| (%i19) | partfrac( (6*x-2)/(x^2-6*x-7),x ); |
| (%i20) | factor( x^5+x^4-2*x^3-2*x^2+x+1 ); |
Ejercicio: Desarrolle la expresión (x+y+1)^3 .
(Sol. y^3+3*x*y^2-3*y^2+3*x^2*y-6*x*y+3*y+x^3-3*x^2+3*x-1 ).
Ejercicio: Exprese como un producto de monomios la expresión x^3-7*x-6 .
(Sol. (x-3)*(x+1)*(x+2) ).
El comando ratsimp sirve para simplificar expresiones racionales (polinomios, fracciones ...).
En algunas ocasiones el resultado devuelto por ratsimp puede seguir simplificándose, y en
estos casos el comando fullratsimp aplica repetidamente ratsimp hasta que Maxima no puede
seguir simplificando. El comando radcan permite simplificar expresiones que contienen
logaritmos, exponenciales y raíces.
| (%i21) | ratsimp ( 1/(x^2-1) - x/(x^2-1) ); |
| (%i22) | ratsimp( x^2/(2*x+8)+(5*x)/(x+4)+6/(x/2+2) ); |
| (%i23) | ratsimp( (x^2-x*y^(a/3)+y^(2*a/3) )*(x+y^(a/3) )); |
| (%i24) | radcan( log(x*y^2)-2*log(sqrt(x)) ); |
| (%i25) | radcan((x^2-y)/(x+sqrt(y)) ); |
Ejercicio: Defina n1 como el logaritmo neperiano de e^4/7^3, donde e es la la base de los
logaritmos neperianos. Defina n2 como 4-3*log(7). Compruebe que n1-n2 es cero.
Ejercicio: Simplifique la expresión ((x^(n/2)+y)^2+(x^(n/2)-y)^2)/(y^2+x^n) .
(Sol. 2).
Hay comandos específicos para manipular expresiones que contienen funciones trigonométricas
e hiperbólicas. Así, trigexpand desarrolla funciones trigonométricas de múltiplos y sumas de
ángulos (también hiperbólicas), trigsimp emplea fórmulas trigonométricas e hiperbólicas para
simplificar expresiones y trigreduce combina productos y potencias de funciones
trigonométricas e hiperbólicas.
| (%i26) | trigexpand( sin(a+b) ); |
| (%i27) | trigreduce ( cos(x)^2-sin(x)^2 ); |
| (%i28) | ratsimp(%); |
| (%i29) | trigsimp ( cos(x)^4-sin(x)^4 -cos(x)^2+sin(x)^2 ); |
Ejercicio: Compruebe la siguiente igualdad
sin(2*x)/(1+cos(2*x)) = tan(x) .
(Indicación: reste los dos miembros de la igualdad, desarrolle los ángulos dobles y luego
simplifique)
6 Ejercicios
Ejercicio: Halle aproximaciones numéricas de
a) El número de oro.
b) (1/2)*(1+sqrt(5))
a) la mitad de la cosecante del ángulo Pi/10.
(Sol. Son los tres el mismo número 1.618033988749895 )
Ejercicio: Usando una aproximación numérica, verifique la siguiente relación del número
de oro phi/1 = 1/(phi-1) .
Ejercicio: Descomponga estos cocientes de polinomios en fracciones simples
a) (5x-4)/(x^2-x-2)
b) (x+1)/(x^2-x-2)
c) (6x-2)/(x^2-6*x-7)
(Sol. a) 3/(x+1)+2/(x-2) b) 1/(x-2) c) 5/(x-7)+1/(x+1).
Ejercicio: Compruebe que
1 1 1 1 1 2^9
----- + ----- + ----- + ----- + ----- = ----- .
1! 9! 3! 7! 5! 5! 7! 3! 9! 1! 10!
Ejercicio: Simplifique la expresión sinh(x)^2-cosh(x)^2 .
(Sol. -1 )
Ejercicio: Simplifique la expresión sin(2*x)*(tan(x)+cot(x))
(Sol. 2) (Indicación: Primero desarrolle el seno del ángulo doble.)
Ejercicio: Simplifique
___ ___ ___ ___
(\/A+4 - \/4-A) (\/A+4 + \/4-A) _
------------------------------- donde \/x es la raíz cuadrada de x.
2A
(Sol. 1)
Ejercicio: Simplifique la expresión (x^(a/2)+1)^2*(x^(a/2)-1)^2/(x^a-1) .
(Sol. x^a -1 ).
Ejercicio: Simplifique tan(x)*tan(Pi/2-x).
(Sol. 1)
Ejercicio: Este ejercicio tiene como objetivo comprobar una relación que cumplen las
tangentes, para lo cual hay que aplicar más de un comando para simplificar una expresión.
Simplifique la expresión tan(x)*tan(y)*tan(2*%pi-x-y)-tan(x)-tan(y)-tan(2*%pi-x-y)
(Sol. 0) (Indicación: use dos comandos distintos)
Ejercicio: Simplifique la expresión (cosh(x)+sinh(x))^5/(cosh(5*x)+sinh(5*x))
(Sol. 1)
(Indicación: Primero desarrolle el ángulo múltiple, y luego simplifique)
Ejercicio: Simplifique las siguientes expresiones
a) (12a^4-26a^3*b-8a^2b^2+10ab^3-8b^4)/(3a^2-2ab+b^2)
b) a/b - (a^2-b^2)*x/b^2 + (a*(a^2-b^2)*x^2)/(b^2*(b+a*x))
c) (x+sqrt(x^2-1))/(x-sqrt(x^2-1))-(x-sqrt(x^2-1))/(x+sqrt(x^2-1))
(Sol. a) -8*b^2-6*a*b+4*a^2 b) (b*x+a)/(a*x+b) c) 4*x*sqrt(x^2-1) ).
Ejercicio. Simplifique las expresiones
a) (x-1)^(1/2)*(x+1)^(1/2)/( x^2-1 )^(1/2)
b) ( y^(n/2)+1)^3*((y^(n/2)-1)^3)/(y^n-1)^2 )
c) ( (1/(x+1))+(1/(x-1)))/((1/(x-1))-(1/(x+1)) )
d) (x^(a/2) + 1)^2*(x^(a/2) - 1)^2/(x^a - 1)
(Sol. a) 1 b) y^n-1 c) x d) x^a-1 ).
Matemáticas II. Grado en Edificación. (A. Palomares.)