2. Gráficos sencillos

Antes de comenzar la práctica es conveniente recordar algunos detalles. 
1) La primera letra de los comandos se escribe siempre en mayúscula. 
2) Los comandos siempre tienen opciones que se escriben entre corchetes o llaves. Al escribir, si abres un corchete o una llave, siempre hay que cerrarlos.
3) Para evaluar una celda, pon el cursor dentro de ella o señala en el borde con el ratón. Pulsa entonces las teclas "mayúsculas y enter".

Teoría

Definición de funciones

Un primer paso antes de empezar a representar gráficamente una función es tener una manera cómoda de definirla. Siguiendo la costumbre usaremos las letras f,g,... para nombrarlas. Para definir la función seno escribimos en una celda nueva:  f[x_]= Sin[x]. Normalmente nosotros escribimos f(x)=sen(x), pero Mathematica no entiende esa notación. La que sí entiende es f[x_]= Sin[x].

Las funciones y comandos ya predefinidos por el ordenador SIEMPRE empiezan por MAYÚSCULA: Sin, Cos, Tan, Exp, Log, Clear, Plot, Simplify, etc. Además, sus argumentos siempre se escriben entre corchetes. Cuando definimos una función, después de la variable x aparece "_" (guión de subrayado) . No hay que olvidarlo o no funcionará.

Ejemplo: f[x_]=Sin[x].  Reescribe la expresión anterior TAL CUAL en una celda nueva y evalúala. Evalua en una celda "f[1]".  Si quieres el valor numérico debes escribir N[f[1]] o f[1]//N.

También podemos asignar un valor a la variable x  y luego evaluar. 
x=0; f[x]. Observa que a la hora de evaluar una función que hayamos definido no se usa el guión "_".

Pueden surgir problemas al redefinir una función o  si la variable que usamos tiene asignado un valor concreto. En este último caso, la función sería constante. Para eliminar variables o funciones, se usa el comando Clear. En nuestro caso, Clear[x,f]

FUNCIONES ELEMENTALES

El Mathematica incorpora la definición de un gran número de funciones. Veamos a continuación algunas de las de mayor uso. Para una descripción más detallada se puede recurrir a un manual o a la ayuda de Mathematica.

Funciones númericas		Significado
Round[x]			Redondea "x" a un entero
Floor[x]			Mayor entero menor (o igual) que "x"
Ceiling[x]			Menor entero mayor (o igual) que "x"
Sign[x]				Signo de "x"
Abs[x]				Valor absoluto de "x"

Funciones con enteros		Significado
Divisors[n]			Lista de divisores enteros de "n"
Factorial[n] o n!		Factorial de "n"

Trigonométricas	Significado	
Sin[x]			seno			
Cos[x]			coseno		
Tan[x]			tangente		
Csc[x]			cosecante		
Sec[x]			secante		
Cot[x]			cotangente		
ArcSin[x]		arcoseno
ArcCos[x]		arcocoseno
ArcTan[x]		arcotangente
ArcCsc[x]		arcocosecante
ArcSec[x]		arcosecante
ArcCot[x]		arcocotangente

Hiperbólicas	Significado		
Sinh[x]		seno hiperbólico		
Cosh[x]		coseno hiperbólico		
Tanh[x]	tangente hiperbólica		
Csch[x]		cosecante hiperbólica		
Sech[x]		secante hiperbólica		
Coth[x]		cotangente hiperbólica		
ArcSinh[x]		arco seno hiperbólico
ArcCosh[x]		arco coseno hiperbólico
ArcTanh[x]		arco tangente hiperbólica
ArcCsch[x]		arco cosecante hiperbólica
ArcSech[x]		arco secante hiperbólica
ArcCoth[x]		arco cotangente hiperbólica

Funciones con		Significado                     
números complejos
Abs[z]			mólulo de "z"	
Arg[z]			argumento principal de "z"
Conjugate[z]		conjugado de "z"
Re[z]			parte real de "z"
Im[z]			parte imaginaria de "z"

La función exponencial			Exp[x]
La función logaritmo neperiano		Log[x]

También se pueden definir funciones "a trozos". Por ejemplo,

	"g[t_]:= t   /;   t>0  &&  t<2    
 	 g[t_]:= -t+4  /;   t<=0   ||   t>=2"

Para definir una función a trozos hay que seguir las siguientes reglas:
1) Has de escribir cada intervalo de definición en un renglón distinto dentro de la misma celda. Para ello, escribe el primer intervalo en un renglón, pulsa enter y escribe el segundo intervalo de definición.
2) Hay que escribir ' := ' después del nombre de la función ' g[t_] '.
3) El símbolo ' /; ' significa ' si ' (condicional).
4) El símbolo ' && ' significa ' y ' (lógico), el símbolo ' || ' significa ' o ' (lógico)

Ejercicio: En una celda nueva, borra la función g con el comando Clear. Escribe la función g definida a trozos como en el ejemplo de más arriba. Evalúala en los puntos x=1 y x=7.

Representación gráfica de funciones

Para representar gráficamente una función de una variable, el comando que se utiliza es

Plot[función, {x, xmin, xmax}, opciones]

Donde:
1) funcion es el nombre de una función ya definida (f[x]) o una expresión válida (ej: (x^2)-4 Sin[x])
2) x es la variable independiente. Podemos usar otras letras, como t, y, z, etc.
3) xmin y xmax son los extremos superior e inferior del intervalo que vamos a representar. 
La siguiente celda es un ejemplo. Evalúala pulsando "may+enter".

Clear[f,x]
f[x_]=(((Cos[(x/2)]))^2)
Plot[f[x],{x,-3π,3π}]

Ejemplo: Escribe en una celda nueva Plot[ Sin[(1/x)],{x,0.001,(π/4)},PlotPoints->8]
Escribe en otra celda otro número más grande y compara las dos gráficas.

PlotStyle. 
Permite escoger el color y grosor del dibujo.

- RGBColor[cantidad de rojo, cantidad de verde, cantidad de azul]. Las cantidades de cada color han de estar entre 0 y 1. Al variar las cantidades se obtienen distintos colores.
- Thickness[número]. El número ha de estar entre 0 y 1, y sirve para fijar el grosor de las líneas. No es recomendable pasar de 0.1 en el grosor.
	Las dos opciones se pueden incluir a la vez, pero no siempre funcionan bien juntas. Están pensadas para usarse cuando se dibujan varias funciones a la vez en el mismo gráfico.

Ejemplo:  Plot[ Tan[x], {x,0, 4 π}, 
		PlotStyle->{ RGBColor[0.2, 0.5,0],
				Thickness[0.01]}  
		]

PlotRange->{número1, número2}.  
Sólo se dibujan los valores de la función comprendidos entre ambos números.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4 Pi},PlotRange->{0,20}]

Axes->None. 
No incluye los ejes en el gráfico.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4π}, Axes->None]

AxesLabel->{"Nombre del Eje X", "Nombre del Eje Y"}. 
Pone una etiqueta a los ejes.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4π}, AxesLabel->{"Eje X","Eje Y"}]

Frame->True. 
Enmarca el gráfico.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4 π},Frame->True]

PlotLabel->"Título". 
Pone un título al gráfico.

Ejemplo: Plot[Tan[x],{x,0, 4π}, PlotLabel->"Función tangente"]

Representación simultánea de funciones.

Para dibujar varias gráficas a la vez en el mismo gráfico, se escriben las funciones entre llaves separadas por comas. El intervalo de definición ha de ser el mismo. 
Ejemplo: Plot[ {Sin[x],Cos[x]} , {x,0,2 π} ] 
Si queremos pintarlas con diferentes opciones, hemos de escribir las opciones diferentes de cada función entre llaves, separando cada opción por comas. 

Ejemplo: Al escribir este ejemplo en una celda, no escribir lo que sigue a %
Plot[ {Sin[x],Cos[x]} , {x,0,2 π},        %ahora vienen las opciones
              PlotStyle->{                           %esta llave es para las opciones de dibujo
		{Thickness[0.008], RGBColor[1,0,0] },  %Opciones para seno
		{Thickness[0.05], RGBColor[0,0,1] }    %Opciones para coseno
			}   %Cerramos la llave para las opciones de dibujo
 	]  %Cerramos el corchete del comando Plot.

Ejercicios

Cuidado con la notación. Deliberadamente, están bien o mal escritos, y tienes que escribirlos bien.

1) Define las siguientes funciones (en celdas nuevas) y evalúalas en los puntos indicados. 
a) f(x) = ((sen(x))/x) , x=π, 	
b) g(x)= ((1-(x^2))^(1/3)), x= -2 
c) h(x)= (((senh(x)))^3)-((cos(x))^(1/5)), x=(π/4)

2) Dibuja la función logaritmo neperiano, exponencial y f(x)=(x^2) con colores y grosores diferentes en un mismo gráfico.

3) a) Elimina definiciones anteriores de las funciones f(x) y g(x) con el comando Clear[f,g]. Define dos funciones f(x)=(((x^2)+1)^(1/3)), g(x)=((x-1)/((x^2)+2)). 
b) Dibuja cada función por separado con el comando Plot en el intervalo [-5,5]. 
c) Dibuja las dos funciones en el mismo gráfico.